Matematiikan historia on hyvin pitkä. Matematiikka on fysiikan ja tähtitieteen ohella vanhimpia tieteenaloja.
Matematiikan synty
Matematiikan ensimmäisten vaiheiden tarkka selvittäminen on mahdotonta, sillä ihmiskunta oppi laskemaan ennen kirjoitustaidon syntyä. Niinpä mitään kirjallisia dokumentteja ensimmäisistä laskusäännöistä tai geometrisista hahmotelmista ei ole jäljellä. Matematiikan varhaishistoriaa voidaan tutkia parhaiten arkeologisten löytöjen, kielitieteen ja eläinten tarkkailun avulla. On todettu, että monet eläimet kykenevät erottamaan ainakin viittä alkiota pienempien joukkojen kokoeron. Siten voidaan olettaa, että jonkinlainen luvun käsite on hyvin vanha. Tätä tukee myös monien kielten kieliopillisen luvun jaottelu yhteen ja moneen, jossain tapauksessa kahteen ja kolmeenkin. Siitä, että on ymmärretty kahden kiven ja kolmen kiven välinen ero on ollut todennäköisesti pitkä matka siihen, että on ymmärretty abstraktin käsitteen ”kolme” liittävän yhteen kolme kiveä ja kolme puuta.Boyer osa 1 s. 23–29 Tätä ajatusta tukee se, että monet joukkojen kokoeroja hahmottavat eläimet eivät pysty tähän. Lisäksi ensimmäiset kieliin ilmaantuneet lukusanat ovat tarkoittaneet alun perin esimerkiksi kahta kiveä. Lukua on siis ollut vaikea hahmottaa yhteydestään irrallisena käsitteenä. Joidenkin teorioiden mukaan järjestysluvut olisivat syntyneet ennen kardinaalilukuja. Tätä on perusteltu sillä, että monissa rituaaleissa ja myyteissä tapahtumien ja henkilöiden järjestyksellä on ollut tärkeä osa. Kielet eivät kuitenkaan tue tätä käsitystä, sillä lähes kaikissa kielissä järjestysluku muodostetaan kardinaalilukua taivuttamalla.
Vanhimmat arkeologiset todisteet lukumäärien laskennasta ovat noin 30 000 vuotta vanhoja. Tšekistä löydetyssä luussa on yhteensä 55 lovea, jotka on jaoteltu viiden ryhmiin. Viisi on ollut luonnollinen valinta sopivaksi joukoksi, koska sormia on yhdessä kädessä viisi. Kymmenen (kahden käden sormet) ja kaksikymmentä (sormet ja varpaat) ovat olleet myös varhaisia lukujärjestelmien kantalukuja. Amerikan intiaaniheimoista tehdyssä tutkimuksessa kolmannes käytti viisijärjestelmää, kolmannes kymmenjärjestelmää, vajaa kolmannes binaarijärjestelmää ja loput kolmijärjestelmää. Kaksikymmenjärjestelmästä on todisteita lähinnä Euroopasta, missä sen jäänteitä näkyy yhä kielissä, ranskan 80 (quatre-vingt) on suomeksi neljä-kaksikymmentä. Varhaisimmat kirjoitetut todisteet näyttävät suosineen viisijärjestelmää, mutta kielen saadessa selvän formaalisen muodon kymmenjärjestelmä on noussut yleisimmäksi.
Geometrian varhaisvaiheita on lukujen syntyäkin vaikeampi selvittää. Kreikkalaiset sijoittivat geometrian synnyn muinaiseen Egyptiin, jossa sitä tarvittiin maanmittaukseen. On kuitenkin selvää, ettei kehittynyt geometrinen ajattelu ole syntynyt tuolloin tyhjästä, vaan jo paljon aiemmin on ollut jonkinlaista geometrista hahmotuskykyä. Monet muutkin eläimet, etenkin apinat, pystyvät hahmottamaan muodon abstraktina, tietystä esineestä irrallisena asiana ja ryhmittelemään eri esineitä muodon perusteella ryhmiin. Vanhimmat todisteet luovasta geometrisesta ajattelusta voidaan nähdä geometrisia kuvioita esittävissä luolamaalauksissa ja erilaisissa punostöissä. Jo niissä on nähtävissä esimerkiksi ajatus kuvioiden yhdenmuotoisuudesta ja symmetriasta.Boyer osa 1 s. 29–31 Yksi vanhimmista tällaisista töistä on Etelä-Afrikasta löydetty luola, jonka seiniin on raaputettu geometrisiä kuvioita arviolta jo 70 000 vuotta sitten.
Muinaisen Egyptin matematiikka (3000–500 eaa.)
Egyptiläiset ovat sumerilaisten ohella ensimmäinen kirjoitustaidon kehittänyt kansa. Varhaisimmat dokumentit egyptiläisestä kuvakirjoituksesta, hieroglyfeistä, ovat yli 5 500 vuotta vanhoja, ja ensimmäiset säilyneet numeromerkinnät ovat yli 5 000 vuotta vanhoja. Egyptiläiset käyttivät kymmenjärjestelmää, ja heidän tapansa merkitä numeroita oli saman tyyppinen kuin roomalaisilla. Kymmenen potensseille ainakin miljoonaan asti oli jokaiselle oma merkkinsä, ja näiden merkkien määrä ilmaisi kyseisen kymmenen potenssin määrän luvussa. Esimerkiksi 1 362 749 merkittiin C11 I8 I8 I8 D50 D50 D50 D50 D50 D50 M12 M12 V1 V1 V1 V1 V1 V1 V1 V20 V20 V20 V20 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Myöhemmin otettiin käyttöön lyhentävä merkintä, jossa esimerkiksi neloselle oli oma merkki, vaakasuora viiva.Boyer osa 1 s. 32–50
thumb|Osa Ahmesin papyruksesta. Tärkeimmät muinaisen Egyptin matematiikan tasosta kertovat lähteet ovat tietyt säilyneet papyrukset, jotka sisältävät ohjeita ja tehtäviä. Laajin näistä on noin vuodelta 1650 eaa. oleva Ahmesin papyrus, toinen merkittävä lähde on noin vuodelta 1890 eaa. oleva Moskovan papyrus. Näiden perusteella on todettu egyptiläisten osanneen käyttää murtolukuja. He pitäytyivät kuitenkin yksikkömurtoluvuissa (muotoa 1/n) ja luvussa 2/3. Muiden murtolukujen he katsoivat olevan sieventämättömiä. Ahmesin papyruksessa esitetään muotoa 2/n olevat luvut yksikkömurtolukujen summana n:n arvoilla 5–101. Egyptiläiset eivät käyttäneet varsinaisesti kerto- tai jakolaskua, vaan he suorittivat nämä operaatiot kahdentamalla tai puolittamalla lukuja ja laskemalla niitä yhteen. Myös kymmenellä kertomista käytettiin. Ahmesin papyruksen kirjoittaja on myös osannut jakaa lukuja missä tahansa suhteessa, minkä voi kuvitella olleen tärkeää valtion verotuksen ja palkkojen kannalta.
Aritmetiikan lisäksi egyptiläiset ovat osanneet algebran ja geometrian alkeet. Ahmesin papyruksessa esitetään menetelmä yksinkertaista muotoa olevien ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Lisäksi siinä esiintyy ensimmäinen tunnettu matemaattinen todistus, jossa todistetaan laskemalla tietyn luvun toteuttavan yhtälön. Geometriassa egyptiläiset ovat osanneet laskea tasakylkisten ja suorakulmaisten kolmioiden sekä suunnikkaiden aloja hajottamalla ne sopiviin kolmioihin ja kokoamalla kolmioista suorakulmion. Samaa menetelmää kolmiulotteisesti käyttämällä he osasivat laskea katkaistun pyramidin tilavuuden. Toisin kuin usein mainitaan, Pythagoraan lauseen käytöstä ei ole mitään viitteitä säilyneissä lähteissä. Trigonometrisista suhteista Egyptin matemaatikoilla oli käytössä pyramidin rakentamisessa tarvittu nykyistä kotangenttia vastaava suhde.
Egyptiläisten matematiikka näyttää kehittyneen varhain tasolle, joka on mahdollistanut pyramidien rakentamisen, tonttien mittauksen ja kehittyneen talouden toiminnan. Ahmesin papyruksen jälkeen sen kehitys tuntuu kuitenkin pysähtyneen. Ilmeisesti matematiikkaa kehitettiin vain käytännön tarpeisiin. Suurimpia heikkouksia egyptiläisten matematiikassa oli ehkä käytännöllisyydestä johtuva likimääräisyys. Egyptiläisten käyttämä piin arvo oli 3+13/81, mikä sinänsä ei ole huono likiarvo. He näyttävät kuitenkin olettaneen sen olevan tarkka, koska tiesivät sen olevan melkein oikein. Vastaavasti egyptiläiset laskivat nelikulmion pinta-alan olevan vastakkaisten sivujen keskiarvon tulo, mikä antaa lähellä neliötä oleville nelikulmioille tarkkoja likiarvoja. Tästä on johdettu myös kolmion alalle kaava, jonka mukaan ala on kahden sivun keskiarvo kerrottuna kolmannen puolikkaalla. Tämä osoittaa egyptiläisten osanneen johtaa kaavasta toinen kaava ja jopa käyttäneen yhden sivun pituutena nollaa. Kaava kuitenkin on alkuperäisestä likimääräisyysoletuksesta johtuen väärä.
Matematiikka Mesopotamiassa (3000–500 eaa.) right|350px|thumb|Babyloniassa käytetyt numerot ennen siirtymistä paikkajärjestelmään. Mesopotamian alueella kehitettyä matematiikkaa on tapana kutsua babylonialaiseksi, vaikka babylonialaisten lisäksi alueella asui muitakin kansoja. Syynä tähän on alueen melko yhtenäinen kulttuuri. Babylonialaisesta matematiikasta on säilynyt paljon enemmän todisteita kuin Egyptin matematiikasta, sillä alueen kansat käyttivät kirjoitusalustana papyrusta paremmin säilyviä savitauluja. Alueen ensimmäinen merkittävä kansa, sumerilaiset, oppi kirjoitustaidon yli 5 000 vuotta sitten. He käyttivät nuolenpääkirjoitusta, minkä myöhemmin aluetta hallinneet kansat omaksuivat. Kymmenjärjestelmän sijaan käytössä oli 60-järjestelmä. Valinta oli tehty ilmeisesti tietoisesti siksi, että 60 on jaollinen monella eri luvulla ja siten kätevä laskennan kannalta. Babylonialaiset käyttivät kuitenkin kymmenjärjestelmää alijärjestelmänä, eli luvut 1–59 muodostettiin ykkösten ja kymmenten merkeistä.Boyer osa 1 s. 51–54
Noin 2500 eaa. alettiin myös numeroita merkitä nuolenpääkirjoituksen merkeillä, joten kaikki numerot ilmaistiin vaaka-ja pystysuorilla kiiloilla. Merkkien vähyys saattoi olla yksi syy siihen, että noin 4 000 vuotta sitten alueella otettiin ensimmäisen kerran käyttöön paikkamerkintä. Ykkösiä merkittiin pystysuorilla kiiloilla ja kymmeniä vaakasuorilla. Samoilla merkeillä ilmaistiin myös kantaluvun muut potenssit, joten esimerkiksi luku 4862=3600+21·60+2 merkittiin Y →→Y YY. Tämä oli merkittävä edistysaskel verrattuna egyptiläiseen merkintätapaan erityisesti siksi, että se ulotettiin myös kantaluvun negatiivisiin potensseihin, ja siten merkintä oli yhtä tehokas kuin nykyään käytössä oleva desimaalijärjestelmä. Ainoa puute oli nolla, jota ei ollut aluksi lainkaan. 300-luvulla eaa. alettiin kuitenkin käyttää luvun keskellä olevalle nollalle omaa merkkiä, mutta luvun lopussa olevaa nollaa ei merkitty mitenkään. Luvun suuruus tuli siis tällöin ymmärtää asiayhteydestä.Boyer osa 1 s. 54–56
Babylonialaisten lukujärjestelmän hyödyt näkyivät selkeimmin heidän likiarvojensa tarkkuudessa. Heidän arvonsa kahden neliöjuurelle oli 1,414222, joka on oikein viiden numeron tarkkuudella. Neliöjuuren laskemiseen babylonialaisilla oli yleinen menetelmä, joka perustui iteraatioon. Kuten Egyptin matemaatikot, babylonialaisetkaan eivät tehneet kuitenkaan selvää eroa likiarvon ja tarkan arvon välille. Siten heille riitti hyvä likiarvo, eikä babylonialaisten tiedetä tutkineen iteraatiomenetelmästä syntyviä päättymättömiä sarjoja. He osasivat kuitenkin ilmeisesti laskea äärellisen geometrisen sarjan summan ja osasivat muutenkin käsitellä äärellisiä sarjoja. Säilyneissä savitauluissa on paljon erilaisia laskemista helpottavia taulukoita. Babylonialaiset ovat merkinneet ylös käänteislukutaulukoita ja lukujen potensseja ja tehneet logaritmitauluja, joita on hyödynnetty käytännössä esimerkiksi korkolaskuissa. Taulukosta puuttuneille luvuille he ovat laskeneet arvoja interpoloimalla.Boyer osa 1 s. 56–77
Yhtälöratkaisussa babylonialaiset edistyivät huomattavasti egyptiläisiä pidemmälle. He oppivat ratkaisemaan kaikki toisen asteen yhtälöt, joilla on ainakin yksi positiivinen juuri. Heidän algebransa kehittyneisyyttä osoittaa, että he ratkaisivat muotoa ax²+bx+c=0 olevia toisen asteen yhtälöitä sijoitusmenetelmällä kertomalla molemmat puolet a:lla ja merkitsemällä ax=y. Samoin he osasivat ratkaista toiseen asteeseen sijoituksella palautuvat yhtälöt kuten x8+bx4+c=0. Babylonialaiset ratkaisivat myös ainakin kolmitermisiä kolmannen asteen yhtälöitä. Täydellisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisusta ei ole varmoja todisteita. Matematiikan tason selvittämistä vaikeuttaa, etteivät babylonialaiset kirjoittaneet ratkaisumenetelmiään muistiin minkäänlaisina kaavoina, vaan käytännöllisinä, tiettyihin lukuihin sidottuna toimintaohjeena. Siksi on joskus mahdotonta tietää, ovatko he tunteneet ongelman yleisen ratkaisun vai vain tietyn erityistapauksen. Ainakin neliön lävistäjän osalta he ovat tienneet, että jokaisessa neliössä lävistäjän ja sivun suhde on √2.