En geometría, un octaedro regular es un poliedro con ocho caras que son triángulos equiláteros. Conocido por su gran simetría, el octaedro regular es un poliedro regular y uno de los sólidos platónicos. Si sus caras son triángulos isósceles, el octaedro regular se convierte en una bipirámide de base cuadrada. El octaedro regular es un ejemplo de muchos tipos de poliedros, como los deltaedros y los politopos simpliciales.
Los octaedros regulares aparecen en la naturaleza y en la ciencia, como las estructuras de los cristales y en estereoquímica, donde representan las moléculas conocidas por su geometría molecular octaédrica. También aparecen en la cultura popular y en la teoría musical. Pueden ser el núcleo de la construcción de otros poliedros, y recubrirse con diferentes poliedros para crear panales tridimensionales.
Los vértices y aristas de un octaedro regular dan lugar a un grafo, una estructura discreta dibujada en un plano denominada grafo octaédrico, un ejemplo de grafo bien cubierto simplicial de cuatro conexiones. También es uno de los seis grafos conexos en los que la vecindad de cada vértice es un ciclo de longitud cuatro o cinco. Dentro de esta estructura, el grafo forma una superficie topológica llamada triangulación de Whitney.
Propiedades Un octaedro regular es un poliedro formado por ocho triángulos equiláteros. Cada vértice es la intersección de cuatro aristas y cuatro caras. Por lo tanto, el octaedro regular tiene ocho caras, doce aristas y seis vértices. Es un poliedro convexo y, como cualquier poliedro convexo, tiene característica de Euler 2, según la fórmula . Estas tres letras denotan respectivamente el número de vértices, aristas y caras.
El octaedro regular es uno de los sólidos platónicos, un conjunto de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares congruentes. Los sólidos platónicos son el antiguo conjunto de cinco poliedros nombrados en honor a Platón, en cuyo diálogo Timeo eran relacionados con los elementos de la naturaleza. El octaedro regular representa el aire. Siguiendo esta vinculación con la naturaleza, Johannes Kepler representó cada uno de los sólidos platónicos en su obra Harmonices mundi. En su Mysterium Cosmographicum, Kepler también propuso un modelo del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, colocándolos anidados y con sus seis esferas inscritas, que se correlacionaban con las órbitas de los seis planetas conocidos por entonces. El orden de los sólidos, del más interno al más externo, era el siguiente: octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, tetraedro regular y cubo.
Medidas thumb|290px|Modelo 3D de un octaedro regular
El área de la superficie de un octaedro regular se puede determinar sumando el área de sus ocho triángulos equiláteros. Para obtener su volumen , se puede dividir el octaedro regular en dos pirámides cuadradas (véase Como otros casos especiales), por lo que el volumen resultante es el doble del volumen de cada una de las pirámides. Sea la longitud de la arista de un octaedro regular. Su área superficial y volumen se pueden formular como:
El radio de la esfera circunscrita (que toca el octaedro en todos sus vértices), el radio de la esfera inscrita (tangente a cada una de las caras del octaedro) y el radio de la interesfera (que toca el punto medio de cada arista) son:
El ángulo diedro de un octaedro regular es el ángulo entre dos de sus caras triangulares adyacentes. Se puede obtener a partir del ángulo diedro de una pirámide cuadrada. Se puede construir un octaedro regular uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras base con base. Para la pirámide, el ángulo diedro entre un triángulo y un cuadrado es . Por lo tanto, para el octaedro regular, el ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes que se puede formar mediante dicha unión es el doble del ángulo cuadrado-triángulo de la pirámide cuadrada. La medida del ángulo también es igual al ángulo entre los dos triángulos adyacentes de la pirámide cuadrada. Es decir:
El octaedro regular tiene dos tipos de geodésicas cerradas, trayectorias que son localmente rectas. En otras palabras, evitan los vértices, siguen segmentos de línea a través de las caras que cruzan y forman ángulos complementarios en las dos caras incidentes de cada arista que cruzan. Estas geodésicas tienen una longitud de y .
El octaedro regular tiene la propiedad del príncipe Ruperto, lo que significa que otro octaedro regular del mismo tamaño o mayor puede pasar a través de un agujero practicado en el octaedro. El nombre original de esta propiedad proviene de Ruperto del Rin, quien se preguntó si un cubo puede pasar a través de un agujero practicado en sí mismo. El matemático inglés John Wallis, quien relató la historia, respondió que era posible, y la solución fue mejorada por el matemático holandés Pieter Nieuwland. Su solución condujo a determinar la geometría del orificio capaz de permitir el paso del poliedro más grande a través de un poliedro del mismo tipo, relación conocida como la constante de Nieuwland. descubrió que tanto el octaedro regular como el tetraedro regular tienen la propiedad del príncipe Ruperto. La constante de Nieuwland para el octaedro regular con una longitud de arista unitaria es igual a la del cubo, aproximadamente .
Simetría y dualidad thumb|El dual de un octaedro regular es un cubo, y viceversa. Las marcas blancas × en esta ilustración señalan los vértices de un octaedro regular tangentes a las caras de un cubo. Ambos tienen la misma simetría
El octaedro regular posee grupos de simetría tridimensionales, es decir, simetría octaédrica. El octaedro regular tiene trece ejes de simetría rotacional: tres ejes de simetría rotacional cuádruple (0°, 90°, 180° y 270°) que pasan por un par de vértices opuestos entre sí, cuatro ejes de simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°) que pasan por el centro de caras triangulares opuestas, y seis ejes de simetría rotacional doble (0° y 180°) que pasan por los puntos medios de pares de aristas opuestas. Además, el octaedro regular tiene nueve planos de reflexión. Cada uno de los tres planos pasa por cuatro vértices en cada ecuador, y cada uno de los seis planos pasa por el par de vértices opuestos y por los centros de un par de aristas opuestas.
El poliedro conjugado se puede obtener a partir de cada uno de los vértices del poliedro tangentes a un plano mediante un proceso conocido como reciprocación polar. Una propiedad de los poliedros duales es que el poliedro y su dual comparten su grupo puntual de simetría tridimensional. En el caso de un octaedro regular, su poliedro dual es el cubo, y ambos tienen los mismos grupos de simetría tridimensionales. Al igual que su dual, el octaedro regular tiene tres propiedades: cualquier par de caras, dos vértices o dos aristas se transforman mediante rotación y reflexión bajo la órbita de simetría, de modo que su apariencia permanece inalterada, lo que se corresponde respectivamente con las propiedades de ser isoedral, isogonal e isotoxal. En consecuencia, reúne las condiciones que definen a un poliedro regular. Cuatro triángulos rodean cada vértice, por lo que el octaedro regular posee la configuración de vértices , equivalente al símbolo de Schläfli .
Estructura combinatoria class=skin-invert-image|thumb|El octaedro regular dibujado en un grafo. Sus seis vértices se pueden agrupar en tres colores diferentes (azul, rojo y verde). Es un grafo tripartito completo y un grafo de Turán , como se muestra en la ilustración
El octaedro regular se puede representar como un grafo, una estructura en teoría de grafos que consiste en un conjunto de vértices conectados por aristas. Esto es posible gracias al teorema de Steinitz, que establece que el grafo de vértices y aristas de un poliedro se puede representar siempre que cumpla las siguientes propiedades: debe ser plano (de forma que ninguna arista se cruce con otra) y 3-conexo (ser -conexo significa que el grafo siempre permanece conectado aunque se eliminen cualesquiera de sus vértices). Su grafo se denomina grafo octaédrico, un grafo poliédrico. Tiene el mismo número de vértices y aristas que el octaedro regular: seis vértices y doce aristas.
Seis vértices del grafo octaédrico se pueden repartir en tres conjuntos independientes, que contienen pares diferentes de dos vértices opuestos. Por lo tanto, es un grafo tripartito completo, designado como Es un ejemplo de un grafo de Turán , que tiene tres cajeidades que representan grafos de estructuras abstractas mediante la intersección de cajas paralelas a los ejes en el espacio euclídeo de dimensión mínima.
Como un simplicial 4-conexo, el grafo octaédrico es uno de los cuatro únicos poliedros bien recubierto, lo que significa que todos los conjuntos independientes máximos de sus vértices tienen el mismo tamaño (es decir, el mismo número de aristas). Los otros tres poliedros con esta propiedad son la bipirámide pentagonal, el biesfenoide romo y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares.
El grafo octaédrico es uno de los seis únicos grafos conexos en los que la vecindad de cada vértice es un ciclo de longitud cuatro o cinco. Los otros son el grafo de Fritsch, el grafo icosaédrico y los grafos de aristas de la bipirámide pentagonal, del biesfenoide romo y de la bipirámide cuadrada giroelongada. En términos más generales, cuando cada vértice de un grafo tiene un ciclo de longitud al menos cuatro como vecindario, los triángulos del grafo se unen automáticamente para formar una superficie topológica llamada triangulación de Whitney. Estos seis grafos provienen de las seis triangulaciones de Whitney que, cuando sus triángulos son equiláteros, tienen defecto angular positivos en cada vértice. Esto los convierte en un análogo combinatorio de las superficies lisas de curvatura positiva. Provienen de seis de los ocho deltaedros, excluyendo los dos que tienen un vértice con un vecindario triangular.
Ejemplos Más allá de su existencia como sólido platónico, el octaedro regular aparece en muchos campos, como la naturaleza y la ciencia, la cultura popular y la teoría musical.
En la naturaleza y la ciencia thumb|upright=0.6|Cristal de fluorita, con estructura octaédrica
Los cristales naturales con estructuras octaédricas se encuentran comúnmente en el diamante, el alumbre, la pirita (aunque también cuenta con otras estructuras poliédricas), y la fluorita. Las placas de la aleación camacita presentes en meteoritos con estructura de octaedrita se disponen paralelas a las ocho caras de un octaedro. Muchos iones metálicos coordinados presentan seis ligandos en una configuración octaédrica u octaédrica. distorsionada. La forma octaédrica también está presente en la estructura de Widmanstätten de los cristales de níquel-hierro. En estereoquímica se habla de geometría molecular octaédrica cuando la estructura de una molécula se asemeja a un octaedro regular. Esta estructura tiene un elemento representativo sin un par solitario activo, que puede describirse mediante un modelo que predice la geometría de las moléculas conocidas como tRePEV.
El radiolario Circoporus octahedrus tiene forma octaédrica.
El octaedro regular es la solución conocida de un caso de seis electrones para el problema de Thomson, que corresponde a la configuración de mínima energía de partículas cargadas situadas sobre una esfera. La solución se obtiene colocando los vértices de un octaedro regular en su esfera circunscrita.
Si cada arista de un octaedro se reemplaza por una resistencia de 1 ohmio, la resistencia entre vértices opuestos es ohm, y la resistencia entre vértices adyacentes es ohm.
En la cultura popular thumb|Dos Serpientes de Rubik con la misma forma pueden aproximarse a un octaedro
En juegos de rol, este sólido se conoce como "d8", uno de los dados poliédricos más comunes.
En teoría musical