Una relación binaria R es el subconjunto de los elementos del producto cartesiano que cumplen una determinada condición:
Taxonomía de las relaciones binarias En el gráfico ilustrativo de la taxonomía de las relaciones binarias se pasa de las definiciones más generales a las más específicas siguiendo el sentido dependiente de las flechas.
Clasificación La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.
En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas, de las heterogéneas. En las primeras, la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo que en realidad, lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones matemáticas de cálculo. Una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.
Relación homogénea Una relación binaria R es homogénea si los conjuntos son iguales:
Dado que y son el mismo conjunto, se representa como:
O bien:
Relación heterogénea Una relación binaria R es heterogénea si los conjuntos no son iguales:
Conceptos previos Par ordenado Dados los conjuntos y se describe el par ordenado que cumple:
Se representa como:
Se lee como:
El producto cartesiano es el subconjunto de los pares ordenados tal que pertenece a y pertenece a .
Producto cartesiano
Definidos los conjuntos:
El producto cartesiano se describe en la tabla adjunta.
La relación binaria queda definida como:
Relación binaria homogénea Dado un único conjunto , la relación binaria R queda determinada como:
200px|right
Una forma de representar el producto cartesiano es:
Tomando como conjunto inicial y final a , se asocia un elemento inicial a uno final dentro de un mismo conjunto , determinando una operación matemática, teniendo siempre en cuenta que si bien el conjunto inicial y final son el mismo, la relación es unidireccional. Si el elemento inicial está relacionado con el elemento final, necesariamente no implica que el elemento final esté relacionado con el elemento inicial.
En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos de correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneas
Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:
Dado el producto de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de que contiene todos los pares de elementos relacionados.
d (a, d) (b, d) (c, d) (d, d) c (a, c) (b, c) (c, c) (d, c) b (a, b) (b, b) (c, b) (d, b) a (a, a) (b, a) (c, a) (d, a) A×A a b c d
Si el producto es:
el conjunto R de la relación binaria se representa:
Nótese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.
Propiedad de la relación binaria homogénea
Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:
Propiedad reflexiva
280px|derecha Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento está relacionado consigo mismo.
Si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva o es arreflexiva.
Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.
Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:
No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.
Propiedad irreflexiva
280px|derecha Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo:
Que también puede expresarse
No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.
Propiedad simétrica
280px|derecha Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:
Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relación:
No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R._[_
Propiedad antisimétrica
280px|derecha Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:
Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b de A, que cumplan las condiciones: a está relacionado con b b está relacionado con a a y b son distintos
Propiedad transitiva
280px|derecha Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces a está relacionado con c:
Propiedad intransitiva
280px|derecha Una relación binaria tiene la propiedad intransitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces a no está relacionado con c:
Propiedad total
Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a está relacionado con b o b está relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo:
Clases de las relaciones binarias homogénea
Partiendo de las propiedades que una relación binaria homogéneas puede tener, se pueden diferenciar algunas por su especial interés:
Relación reflexiva La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.
Las relaciones reflexivas son las definidas así:
El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad matemática, así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo número natural es igual a sí mismo.
200px|right Dado un conjunto A, formado por los siguientes elementos:
Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así:
Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a la relación:
Luego la relación R es reflexiva.
120px|right La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas la función identidad.
En el eje horizontal (abscisas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, y en el eje vertical(ordenadas) el conjunto final, de abajo arriba, si un determinado par pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece se deja en blanco, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria.
120px|right En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los pares ordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonal tienen aspas, la relación es reflexiva.
Como puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que:
Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R.
En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados, donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale y llega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en la diagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo.
Relación no reflexiva 280px|derecha Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que ningún elemento del conjunto está relacionado consigo mismo. Puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no, la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva, que se puede denominar arreflexiva. Ver diagrama:
Las relaciones irreflexivas son un caso particular de las no reflexivas.
También podemos decir que una relación es irreflexiva si:
Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a está relacionado consigo mismo.
200px|right Dado el conjunto:
y la relación entre los elementos de este conjunto:
Podemos ver que:
Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R, luego esta relación en irreflexiva.
120px|right La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonal principal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación.
La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, el cumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si una relación es reflexiva, tenemos que:
y si es irreflexiva, se cumple:
Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamiento contrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NO irreflexiva simultáneamente:
Una relación binaria es no reflexiva si:
Y una relación es no irreflexiva cuando:
Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria no reflexiva y no irreflexiva:
veamos un ejemplo, dado el conjunto:
200px|right En la que se ha definido la relación binaria:
Podemos ver que:
Y también que:
Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.
120px|right Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en la diagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, y tampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria no reflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una misma relación.
En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones: Relaciones reflexivas Relaciones irreflexivas Relaciones arreflexivas
Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexiva simultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente.
Relación de dependencia
Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica:
Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la distancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia:
y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo un valor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es:
es una relación de dependencia, dado que es reflexiva:
es simétrica:
relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que:
que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, no implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación de dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si denota una dependencia entre ellos.
Conjunto preordenado