thumb|fig. 1: Graf for logisitisk funktion er tegnet med rød. Her ses den S-formede graf tydeligt. thumb|fig.2: Denne graf for logistisk funktion er symmetrisk omkring sit skæringspunkt med y-aksen. thumb|fig. 3: Graf for eksponentielt voksende funktion og graf for logistisk funktion med sin øverste vandrette asymptote er tegnet i samme koordinatsystem. Logisitisk funktion stopper ved sit maksimum, som er markeret af den grønne, vandrette linje (asymptote til grafen for logisitisk funktion). thumb|fig. 4: To eksempler på at starte løsningen af differentialligningen ved metoden separation af de variable. Logistisk funktion er en matematisk model for, hvordan en population af eksempelvis bakterier udvikler sig.logistisk vækst | lex.dk – Den Store Danske Logistisk funktion anvendes også til at beskrive, hvordan et områdes indbyggereTouborg (1995) s. 67 øges til et en maksimal øvre grænse. (Se den røde graf på fig. 1 - 4). Hver af de fire fig. viser noget karakteristisk for grafer for logistisk funktion.
Den logistiske funktion kan forstås som en eksponentielt voksende funktionhttp://www.lr-web.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem2download/kap6_Projekt_6_4_Diskret_logistisk_vaekst_prototype_for_kaosteori.pdf med et maksimum, .HEM_2_2-9-18.pdf betegnes også bæreevnen.https://www.matematikfysik.dk/mat/noter_tillaeg/tillaeg_differentialligninger_beviser_modeller.pdf (Se fig. 3 og fig. 4). Den logistiske funktions graf er opstået ved at "klippe" den eksponentielle funktions grafBeschreiben Sie exponentielles und logistisches Wachstum... | Ökologie | Repetico i stykker og så spejlvende den nederste del af den eksponentielt voksende funktions graf.
Forskelle på eksponentiel funktion og logistisk funktion Med eksponentiel funktion forstås en eksponentielt voksende funktion og dens graf.
Grafen for eksponentiel funktion ikke er symmetrisk, mens grafen for logistisk funktion er symmetrisk. (Se især fig. 2). Eksponentiel funktion fortsætter i det uendelige; hvorimod logistisk funktion stopper ved sit maksimum. (Se fig. 3).
Differentialligningen Matematisk er forskriften for logistisk funktion den ikke-trivielleDifferentialligninger - Bevis: Type y' = a·y·(M-y) [Logistisk differentialligning Version 1] - YouTube løsningDifferentialligninger til differentialligningen:Logistisk differentialligning
Differentialligningen er et andengradspolynomiumhttps://quizlet.com/289744870/logistisk-differentialligning-flash-cards/ af . Det ses ved at multiplicereParenteser (Matematik C, Tal og Regnearter) – Webmatematik ind i parentesen.
Variant af differentialligningen Ved at udskifte med og ved at erstatte med kan differentialligningen se sådan ud:
Differentialligningen har to trivielle løsninger med forskrifterne og ; disse er forskrifter for to vandrette linjer, som er asymptoter til den logisitiske fuktion.
Forskrift for logistisk funktion Beviset for, at den logistiske funktions forskrift er løsningen til differentialligningen, kan føres vha. separation af de variable;siderne 5-7 i Erik Vestergaard: Differentialligninger - separation af variable på matematikfysik.dk hvor .
Differentialligningens ikke-trivielleDifferentialligninger - Bevis: Type y' = y·(b - a·y) [Logistisk differentialligning Version 2] - YouTube løsning har forskriften:Hebsgaard (1995) s. 75
Variant af forskriften for logistisk funktion I forskriften for logistisk funktion kan erstattes af brøken ; hvor der gælder:
Bemærk, at forskriftens nævner også ændres, når tælleren ændres.
Om bevis og andet · Der kan føres bevis for, at forskriften for logistisk funktion er ovennævnte differentiallignings løsning.
· En anden mulighed for at bevise differentialligningens løsning er at anvende substitution:(Carstensen & Frandsen 1985) Man kan eksempelvis indføre følgende substitution: som gælder, for
Derved kan man omdanne ovennævnte differentialligning til en første ordens lineær differentialligning, som kan løses ved metoden separation af de variable.
· For de viste grafer for logistisk funktion (fig. 1 - 4) gælder, at konstanten
Grafers udseende Af fig. 1 og fig. 2 fremgår det, at grafer for logistisk funktion kan variere, men der er tale om varianter af den samme skabelon.Jessen (1995) Grundlæggende har hver graf symmetri og to vandrette asymptoter. En grafs S-form kan være mere eller mindre tydelig: En graf kan være langstrakt (se fig. 2) eller klumpet sammen (se fig. 1).
S-form og symmetri Grafen for logistisk funktion er en S-formet kurveGeoGebra (se fig. 1), som er symmetrisk (se fig. 2).
Grafen er symmetrisk omkring punktet og væksthastigheden er størst for
To vandrette asymptoter thumb|fig. 5: Grafen for logistisk funktion har to vandrette asymptoter: Den øverste grønne linje (y = M) og den nederste gule linje, x-aksen (y = 0). Man ser, at grafen for logistisk funktion har to vandrette asymptoter:
Den øverste asymptote er (se den grønne vandrette linje på fig. 4) Den nederste asymptote er (altså -aksen, som er vandret.) Se den gule vandrette linje på fig. 4
Karakteristik af logistisk funktion Man inddeler logistisk funktion i tre faser:
Den langsomt voksende start-fase, som er næsten vandret. Den hurtigt voksende midt-fase, som er næsten lodret. (Det ses bedst på fig. 1) Den langsomt voksende slut-fase, som er næsten vandret.
Dette eksempel tager udgangspunkt i bakterier, som vokser i laboratoriets petriskål:
I starten er der kun få bakterier, så de formerer sig kun langsomt. Dette ses på grafen ved at grafen er meget tæt på -aksen (som markerer den nederste vandrette asymptote). I midten af forløbet er der flere bakterier, så de kan formere sig hurtigere. Dette ses på grafen som det næsten lodrette stykke. I slutningen af forløbet bliver mangel på pladsLogistisches Wachstum og mangel på føde til problemer for bakteriernes vækst. Forurening er også et problem. Dette ses på grafen, ved at grafen er meget tæt på maksimum (som markerer den øverste vandrette asymptote). For eksemplet med baktier er differentialligningen typisk:
hvor brøken betegner bakteriernes væksthastighed. Væksthastigheden er proportional med differencen mellem maksimum og antallet af baktier . Konstaten er proportionalitetsfaktor.
Differentialligningen, som beskriver bakteriernes vækst, har den ikke-trivielle løsning:
hvor er en konstant, som man kan beregne, hvis man kender de andre værdier, som forekommer i løsningsformlen.
Logistisk funktion kan bl.a. anvendes til at beskrive, hvordan en population af bakterier, mushttps://szymanskispil.weebly.com/uploads/1/1/7/4/117416942/infinitesimalregning_del_3_x2017.pdf eller andre dyrhttp://www.lr-web.dk/Lru/microsites/hvadermatematik/hem3download/kap3_projekt_3_5_Kollaps_af_en_population.pdf som formerer sig men typisk med ændrende væksthastigheder.Differentialligninger - et undervisningsforløb med Derive og modelbygning et hvirveldyrLogistisk vekst - Institutt for biovitenskap vokser.Sexual maturity in growing dinosaurs does not fit reptilian growth models | PNAS et områdes indbyggertalhttps://www.grevemuseum.dk/media/24890/modeller-af-befolkningstilva-â-ªkst-mat-a-b1.pdf udvikler sigJessen, Claus m.fl. (1995) s. 165-175 over lang tid.
Kort sagt anvendes logistisk funktion i både biologi og demografi.
Ophavsmand Den logistiske funktion blev introduceret af den belgiske matematiker Pierre François Verhulst (1804 - 1849)https://math.au.dk/fileadmin/Files/matlaererdag/2014/HKS_Aarhus-2014-03-28.handouts.pdf i perioden 1838https://oparu.uni-ulm.de/xmlui/bitstream/handle/123456789/7713/Wachstum.pdf?sequence=1&isAllowed=y - 1847.
Logistisk regression Logistisk regression er en type regression, som estimerer, hvor godt parametre passer med logistisk funktion.
IT-afsnit Som en del af Edge browser kan MS Copilot bevise den logistiske differentiallignings løsningsformel, hvis man promter: bevis den logistiske differentiallignings løsningsformel ved metoden separation af variable med forklaringer undervejs med dy/dx = y(b-ay).bevis den logistiske differentiallignings løsningsformel ved metoden separation af variable med forklaringer undervejs med dy/dx = y(b-ay) på bing.com
Se også
Differentialligning Separation af de variable Eksponentiel vækst Regression Matematisk model Asymptote Symmetri
Eksterne henvisninger Bøger Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. Jessen, Claus m.fl. (1995): Differentialregning: gymnasiematematik, obligatorisk niveau. Matematik - tanke, sprog og redskab. København, Gyldendal Undervisning. Hebsgaard, Thomas m.fl. (1995): Matematik højniveau 2: integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. Touborg, Jens Peter (red.) (1995): Eksamensopgaver i matematik: gymnasiet: matematisk linje, højt niveau. Matematiklærerforeningen, København.
Referencer
Kategori:Matematik Kategori:Differentialligninger