thumb|right|Maxwell-Boltzmann-fordelingen for forskellige temperaturer, hvor og . Det ses, at fordelingen forskydes mod højere hastigheder, når temperaturen stiger. Maxwell-Boltzmann-fordelingen beskriver hastigheds- og fartfordelingen af partiklerne i en idealgas i termisk ligevægt jf. den kinetiske gasteori. Fordelingen af fart er givet ved:
hvor er gassens temperatur, er Boltzmanns konstant, og er en enkelt partikels masse. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet til altså givet ved .
Udledning Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden udover ved elastiske sammenstød, er deres energi blot lig med deres kinetiske energi
hvor er hastigheden.
Hastighedsfordeling Jf. Boltzmann-fordelingen må fordelingen af kinetisk energi følge en eksponentialfunktion:
Da
for hver retning , og , er fordelingsfunktionen altså en funktion af tre variable:
thumb|right|En én-dimensionel normalfordeling omkring 0. Det ses, at fordelingen er fordelt sfærisk symmetrisk omkring 0 som en normalfordeling, hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet give 1:
Da det gaussiske integrale er
må det for fordelingsfunktionen gælde:
Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder
Det ses desuden, at fordelingen flader ud, jo højere temperaturen bliver.
Fartfordelingen thumb|right|Fartfordelingen for forskellige ædelgasser ved 298.15 K (25 °C). Jo lettere atomerne er, jo mere udfladet er fordelingen. For at finde fartfordelingen skal hastighedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan sfæriske koordinater med fordel bruges:
Her er rumvinklen. Integralet over rumvinklen er , så fartfordelingen bliver
I modsætning til hastighedsfordelingen er fartfordelingen altså ikke symmetrisk omkring 0.
Kildehenvisninger
Kategori:Statistisk mekanik