Spilteoretikeren John Forbes Nash, som i 1994 sammen med to andre forskere modtog nobelprisen i økonomi.|thumb|right Spilteori studerer valg af optimal adfærd, når omkostningerne og gevinsterne af hver mulighed afhænger af andre individers valg. Det bliver ofte beskrevet som en gren af anvendt matematik og økonomi, der studerer situationer, hvor spildeltagere handler på forskellige måder i et forsøg på at maksimere deres gevinst. Den centrale idé er imidlertid, at det opstiller en formel model for sociale situationer, hvori beslutningstagere interagerer med andre personers tankegange. Spilteori er en udvidelse af den simplere optimeringstilgang, som blev udviklet i neoklassisk økonomi.
Spilteori som begreb udfoldede sig for første gang i den i dag klassiske bog Teorien om spil og økonomisk adfærd (1944) af John von Neumann og Oskar Morgenstern. Et vigtigt sted for udviklingen af spilteori var RAND Corporation, hvor den hjalp med at opstille strategier i en atomkrig. Spilteori benyttes i dag på mange forskellige akademiske områder, fra biologi og psykologi til sociologi og filosofi. Fra 1970'erne har spilteori været anvendt i studier af dyreadfærd, inklusive arternes udvikling gennem naturlig selektion. På grund af spil som fangernes dilemma, hvori rationel egennytte skader alle de involverede, er spilteori blevet brugt inden for politisk videnskab, etik og filosofi. Endelig har spilteori også tiltrukket interesse fra computervidenskabsfolk grundet dens nytte inden for kunstig intelligens og kybernetik.
I tillæg til den akademiske relevans har spilteori også vakt opsigt i populærkulturen. Nobelprisvinderen og spilteoretikeren John Forbes Nash var emnet for den biografiske bog Et smukt sind fra 1998 og filmen af samme navn fra 2001. Spilteori var også et tema i filmen WarGames fra 1983. Adskillige gameshows har gjort brug af spilteoretiske situationer, blandt andet Robinson Ekspeditionen. Personen Jack Bristow i tv-programmet Alias er en af de få fiktive spilteoretikere i populærkulturen.GameTheory.net har en omfattende liste over henvisninger til spilteori i populærkulturen.
Gengivelse af spil Inden for spilteori studerer man veldefinerede matematiske objekter. Spillet består af gruppe spildeltagere, en række mulige træk (eller strategier) for disse spillere og en specifikation af udbyttet af hver strategikombination. I faglitteraturen er der to almindelige måder at gengive spil på.
Normal form
Normale (eller strategiske) spil bliver sædvanligvis gengivet ved en matrix, som viser spillerne, strategierne og udbyttet (se eksemplet til højre). Mere generelt kan det blive repræsenteret ved enhver funktion, der tilordner et udbytte til hver spiller for alle mulige handlingskombinationer. I det viste eksempel er der to spillere; den ene vælger rækken, og den anden vælger søjlen. Hver spiller har to strategier, som er specificeret ved nummeret på rækken eller søjlen. Udbyttet fremgår af skemaets felter. Det første tal er udbyttet, som rækkespilleren (dvs. Spiller 1 i dette tilfælde) modtager, mens det andet tal er udbyttet for søjlespilleren (Spiller 2 i dette eksempel). Antag for eksempel, at Spiller 1 vælger op, og Spiller 2 vælger venstre. Da får Spiller 1 udbyttet 4, mens Spiller 2 får 3.
Når et spil gengives på normal form, antages det at hver spiller handler simultant eller i det mindste uden at kende den andens handling. Hvis spillerne er i besiddelse af information om de andres valg, bliver spillet normalt præsenteret på udvidet form.
Udvidet form thumb|left|Et spil på udvidet form Den udvidede form kan bruges til at formalisere spil med en vigtig rækkefølge. Sådanne spil bliver ofte gengivet ved et træ (se illustrationen til venstre). Her repræsenterer hvert knudepunkt et valg for en spiller. Spilleren bliver specificeret ved et nummer, der skrives ved punktet. Linjerne ud fra punktet symboliserer mulige handlinger for denne spiller. Udbyttet opskrives i bunden af træet.
I spillet til venstre er der to spillere. Spiller 1 trækker først og vælger enten F eller U. Spiller 2 ser den første spillers træk og vælger dernæst enten A eller R. Antag for eksempel, at Spiller 1 vælger U, og Spiller 2 derefter vælger A. Da får Spiller 1 udbyttet 8, mens spiller 2 får 2.
Den udvidede form kan også afbilde spil, hvor valgene foretages simultant, samt spil med uperfekt information. Enten tegnes en prikket linje eller en cirkel rundt om to forskellige knudepunkter for at fremstille dem som en del af den samme informationsmængde (dvs. spillerne ved ikke, hvilket punkt de er ved).
Spiltyper Symmetriske og asymmetriske spil
Et symmetrisk spil er et spil, hvor udbyttet for at vælge en given strategi kun afhænger af de andre benyttede strategier, men ikke af hvem der vælger dem. Hvis der kan byttes om på spildeltagernes identitet uden at ændre strategiernes udbytte, er spillet symmetrisk. Mange af de almindeligt studerede 2×2-spil er symmetriske. Standardgengivelsen af fangernes dilemma er et symmetrisk spil, omend nogle videnskabsfolk ligeledes betragter asymmetriske versioner af dette og lignende spil.
De mest normale asymmetriske spil er spil, hvor spillerne har forskellige mulige strategier, men et spil kan godt have identiske strategier og stadig være asymmetrisk. For eksempel er spillet til højre asymmetrisk, på trods af at strategierne for de to spillere er ens.
Nulsumsspil
Nulsumsspil er et specialtilfælde af konstantsumspil, hvori spillernes valg hverken kan øge eller formindske de tilgængelige ressourcer. I nulsumsspil er den samlede gevinst for alle spillere, for hver strategikombination, lig med nul (uformelt sagt kan en spiller kun vinde på bekostning af andre). Poker er et eksempel på et nulsumsspil (hvis man ser bort fra kasinoets del af puljen), fordi man vinder præcist det beløb, som modstanderne taber. Blandt andre nulsumsspil kan nævnes de fleste klassiske brætspil, fx go og skak.
Mange af de spil, der studeres af spilteoretikere (inklusive det kendte fangernes dilemma), er ikke nulsumsspil, fordi visse udfald har nettogevinster større eller mindre end nul. Løst formuleret kan en spiller i spil, der ikke er et nulsumsspil, godt gavne sin egen sag uden dermed at påføre et tab på de andre spillere.
Konstantsumsspil svarer til aktiviteter såsom tyveri eller hasard, men ikke til de fundamentale økonomiske situationer, hvor der er en potentiel gevinst ved byttehandler. Det er muligt at transformere ethvert spil til et (muligvis assymetrisk) nulsumsspil ved at tilføje en ekstra fiktiv spiller, hvis tab kompenserer spillernes nettogevinster.
Simultane og sekventielle spil Simultane spil er spil, hvor begge spillere handler på samme tid, eller hvis de ikke trækker simultant, er de efterfølgende spillere uvidende om andre spillers tidligere valg (og dermed bliver spillet effektivt set simultant). Sekventielle spil (eller dynamiske spil) er spil, hvor spillerne har en vis viden om det foregående handlingsforløb. Dette behøver ikke at betyde perfekt information om enhver handling af tidligere spillere; det kan være meget lidt viden, der er tale om. For eksempel ved en spiller måske, at en tidligere spiller ikke foretog et bestemt valg, uden dog at vide hvilke af de andre mulige valg, denne spiller rent faktisk foretog.
Forskellen mellem simultane og sekventielle spil fremgår af de forskellige spilgengivelser, som er diskuteret ovenfor. Normal form bliver benyttet til at repræsentere simultane spil, og udvidet form bruges til at gengive sekventielle spil.
Perfekt og imperfekt information thumb|250px|right|Et spil med imperfekt information (den prikkede linje repræsenterer Spiller 2's uvidenhed)
En vigtig delmængde af sekventielle spil består af spil med perfekt information. I sådanne spil kender alle spillere de foregående spilleres handlinger. Derfor er det kun sekventielle spil, der kan indebære perfekt information, eftersom ikke alle spillere i simultane spil er bevidste om de andres valg. De fleste studerede spil i spilteori har imperfekt information, selvom der er interessante eksempler af spil med perfekt information, blandt andet skak, kalaha og go.
Perfekt information bliver ofte forvekslet med fuldstændig information, som er et lignende begreb. Fuldstændig information kræver, at enhver spiller kender de andre spilleres strategier og udbytte deraf, men ikke nødvendigvis deres handlinger.
Uendeligt lange spil Af gode grunde bliver spil, der studeres af økonomer og spildeltagere i den virkelige verden, normalt afgjort efter et endeligt antal træk. Rene matematikere er ikke så tilbageholdende, og i særdeleshed mængdeteoretikere studerer spil, der varer et uendeligt antal træk, og hvor vinderen (eller andre spilleres udbytte) først kendes efter alle disse valg er foretaget.
Normalt fokuseres ikke så meget på, hvad den bedste måde at spille sådan et spil på er, men snarere på, om én eller anden spiller har en vindende strategi. (Ved hjælp af udvalgsaksiomet kan det vises, at der findes spil – selv med perfekt information, og hvor de eneste mulige udfald er "vind" eller "tab" – for hvilke ingen af spillerne har en vindende strategi.) Eksistensen af sådanne strategier, for veludtænkte spil, har vigtige konsekvenser inden for deskriptiv mængdeteori.
Anvendelser af spilteori Spil af én eller anden form er udbredt i mange forskellige akademiske discipliner.
Politisk videnskab Anvendelsen af spilteori i politisk videnskab fokuserer på de overlappende emner retfærdig fordeling, politisk økonomi, offentligt valg, positivistisk politisk teori og socialvalgsteori. I hver af disse felter har forskere udviklet spilteoretiske modeller, hvori spildeltagerne ofte er stemmeafgivere, stater, interessegrupper eller politikere.
Anthony Downs var en af de første, der overførte spilteori til politiske videnskab. I hans bog En økonomisk teori om demokrati (1957) anvender han Harold Hotellings firmalokationsmodel på den politiske proces. I Downs model binder politiske kandidater sig til en ideologi i et endimensionalt politikrum. Han viste så, hvordan de politiske kandidater ville bevæge sig mod den ideologi, der var foretrukket af medianvælgeren. Mere nutidige eksempler af spilteori inden for politisk videnskab omfatter bøger af George Tsebelis, Gene M. Grossman og Elhanan Helpman, David Austen-Smith og Jeffrey S. Banks.
En spilteoretisk forklaring på demokratisk fred er, at den offentlige og åbne interne debat i demokratier sender klar og pålidelig information om landets intentioner til andre stater. I kontrast hertil er det svært at vide sig sikker på ikkedemokratiske lederes valg, hvilken effekt indrømmelser vil have, og om løfter vil blive overholdt. Derfor vil der herske mistillid og uvilje mod at foretage indrømmelser, hvis bare én af parterne i konflikten er udemokratiskSSRN-It Takes Two: An Explanation of the Democratic Peace by Gilat Levy, Ronny Razin.
Økonomi og erhverv Økonomer har længe brugt spilteori til at analysere et bredt udsnit af økonomiske fænomener, deriblandt auktioner, byttehandel, duopoler, retfærdig fordeling, oligopoler, dannelse af sociale netværk og stemmesystemer. Denne forskning koncentrerer sig normalt om særlige mængder af strategier kendt som ligevægte i spil. Disse "løsningskoncepter" er sædvanligvis baseret på normerne for rationalitet. Det mest berømte af disse er Nash-ligevægt. Et sæt af strategier er en Nash-ligevægt, hvis hver af dem udgør det bedste svar til de andre strategier. Så hvis alle spillerne vælger strategier i en Nash-ligevægt, har de intet incitament til at afvige, eftersom den pågældende strategi er deres bedste mulighed, givet de andre spilleres valg.
Udbyttet for spillene er generelt taget for at være individernes nytte. I modelsituationer symboliserer udbyttet ofte penge, hvilket antagelig svarer til personens lykke. Denne antagelse kan imidlertid være fejlagtig.