En computació quàntica, l'algorisme d'estimació de fase quàntica és un algorisme quàntic per estimar la fase corresponent a un valor propi d'un operador unitari determinat. Com que els valors propis d'un operador unitari sempre tenen mòdul unitari, es caracteritzen per la seva fase i, per tant, l'algorisme es pot descriure de manera equivalent com la recuperació de la fase o del valor propi en si. L'algorisme va ser introduït inicialment per Alexei Kitaev el 1995.
L'estimació de fase s'utilitza freqüentment com a subrutina en altres algorismes quàntics, com ara l'algorisme de Shor,l'algorisme quàntic per a sistemes d'equacions lineals i l'algorisme de recompte quàntic.
Visió general de l'algorisme L'algorisme opera amb dos conjunts de qubits, denominats en aquest context registres. Els dos registres contenen i qubits, respectivament. Sigui ser un operador unitari que actua sobre el -registre de qubit. Els valors propis d'un operador unitari tenen mòdul unitari i, per tant, es caracteritzen per la seva fase. Així, si és un vector propi de , aleshores per a alguns A causa de la periodicitat de l'exponencial complexa, sempre podem suposar .
L'objectiu és produir una bona aproximació per a amb un nombre reduït de portes i una alta probabilitat d'èxit. L'algorisme d'estimació de fase quàntica aconsegueix això assumint accés oracular a , i tenint disponible com a estat quàntic. Això significa que quan parlem de l'eficiència de l'algorisme només ens preocupem pel nombre de vegades que s'ha d'utilitzar, però no sobre el cost d'implementació mateix.
Més precisament, l'algorisme retorna amb alta probabilitat una aproximació per a , dins de l'error additiu , utilitzant qubits al primer registre, i operacions controlades en U. A més, podem millorar la probabilitat d'èxit per a per a qualsevol utilitzant un total de usos de la U controlada, i això és òptim.
Descripció detallada de l'algorisme miniatura|500x500px|El circuit per a l'estimació de fase quàntica.
Preparació d'estats L'estat inicial del sistema és:
on és el estat de qubit que evoluciona a través de Primer apliquem l'operació de porta Hadamard de n-qubits al primer registre, que produeix l'estat: Tingueu en compte que aquí estem canviant entre binari i representació -ària per a la registre de qubits: el ket a la dreta és l'abreviatura de estat de qubit , on és la descomposició binària de .
Operacions controlades en U Aquest estat després evoluciona a través de l'evolució unitària controlada l'acció de la qual es pot escriure com per a tots Aquesta evolució també es pot escriure de manera concisa com cosa que destaca la seva naturalesa controlada: s'aplica al segon registre condicionalment al primer registre . Recordant que la condició de valor propi es compleix per a , aplicant a així dóna on vam fer servir .
Per demostrar que també es pot implementar de manera eficient, observem que podem escriure , on denota l'operació d'aplicar al segon registre condicionalment a la -èsim qubit del primer registre sent Formalment, aquestes portes es poden caracteritzar per la seva acció com Aquesta equació es pot interpretar com que l'estat no canvia quan , és a dir, quan el -èsim qubit és , mentre la porta s'aplica al segon registre quan el -èsim qubit és La composició d'aquestes portes controlades dóna, doncs, amb l'últim pas directament després de la descomposició binària .
A partir d'aquest punt, el segon registre es deixa intacte i, per tant, és convenient escriure , amb l'estat de la -qubit registre, que és l'únic que hem de tenir en compte per a la resta de l'algorisme.
Aplica la transformada quàntica inversa de Fourier La part final del circuit consisteix a aplicar la transformada quàntica inversa de Fourier (QFT) al primer registre de : La QFT i la seva inversa es caracteritzen per la seva acció sobre els estats base com a D'això es dedueix que
Descomponent l'estat en la base computacional com a els coeficients, doncs, són iguals on vam escriure amb és l'enter més proper a La diferència ha de satisfer per definició Això equival a aproximar el valor de arrodonint al nombre enter més proper.
Mesura El pas final implica realitzar una mesura a la base computacional del primer registre. Això dóna el resultat amb probabilitatD'això es dedueix que if , és a dir, quan, on es pot escriure coms , sempre es troba el resultat . D'altra banda, si, if , la probabilitat ésA partir d'aquesta expressió podem veure que when .Per veure això, observem que a partir de la definició de tenim la desigualtat , i per tant:
Concloem que l'algorisme ofereix el millor estimació de bit (és a dir, una que es troba dins de de la resposta correcta) de amb probabilitat com a mínim Afegint un nombre de qubits addicionals de l'ordre de i truncant els qubits addicionals, la probabilitat pot augmentar a .
Exemples de joguines Considerem l'exemple més simple possible de l'algorisme, on només qubit, a més dels qubits necessaris per codificar , està implicat. Suposem que el valor propi de llegeix , La primera part de l'algorisme genera l'estat d'un qubit. . Aplicant la inversa de la QFT, en aquest cas s'aplica una porta d'Hadamard. Les probabilitats del resultat final són, per tant, on , o més explícitament, Suposem , significat Aleshores , , i recuperem determinísticament el valor precís de dels resultats de la mesura. El mateix s'aplica si .
Més generalment, si , aleshores si i només si Això és coherent amb els resultats anteriors perquè en els casos , corresponent a , la fase es recupera determinísticament, i les altres fases es recuperen amb més precisió com més a prop estiguin d'aquestes dues.
Referències
Categoria:Algorismes Categoria:Mecànica quàntica