miniatura|Àbac xinès marcant el nombre 37.925 L'àbac (del llatí abăcus, i grec άβαξ-ακος, que significa 'taula') és una eina per al càlcul manual d'operacions aritmètiques, que consisteix en un marc amb varetes paral·leles per on es fan córrer boles. S'hi poden representar nombres enters o decimals. Cada vareta normalment representa un dígit d'un nombre de diversos dígits disposat segons un sistema de numeració posicional com ara la base deu.
L'àbac generalment s'usa per a efectuar les operacions aritmètiques bàsiques (suma, resta, multiplicació i divisió).
A més dels àbacs basats en boles o pedres també s'han desenvolupat àbacs que fan servir els nombres decimals. El primer va ser l'àbac de Gerbert d'Orlhac, que el va inventar al voltant de l'any 1000 després d'haver après els nombres decimals a Vic i a Ripoll sota la protecció del comte Borrell II de Barcelona. L'àbac neperià incorpora unes regletes que contenen la taula de multiplicar facilitant aquesta operació que amb l'àbac de Gerbert requereix la memorització de les taules. Les regletes de Genaille-Lucas milloren les de John Napier i permeten llegir directament el resultat de la multiplicació sense fer sumes intermèdies.
En l'Amèrica precolombina també s'havien desenvolupat instruments de càlcul basats en boles anomenats yupana i un sistema d'enregistrament de dades i nombres anomenat quipu. El seu funcionament es desconeix perquè els espanyols varen prohibir-ne i perseguir-ne l'ús i ensenyament. Els investigadors creuen que el yupana es feia servir emprant els nombres de Fibonacci.
Història En èpoques molt primerenques l'home primitiu va trobar materials per a idear instruments per a comptar. És probable que el seu inici fos una superfície plana i pedres que es movien sobre línies dibuixades amb pols. Avui dia es tendeix a pensar que l'origen de l'àbac es troba a la Xina, on l'ús d'aquest instrument encara és notable, igual que al Japó.
Àbac a Mesopotàmia L'àbac sumeri apareix en el període comprès entre els anys 2700-2300 aC. Aquest era format per una taula de successives columnes que delimitaven les successives ordres de magnitud el sistema sexagesimal que empraven., pag 11. No obstant això, diferents experts sostenen que els sumeris «podien haver utilitzat l'àbac per a les operacions d'addició i sostracció; tanmateix, aquest mecanisme primitiu resultava difícil d'utilitzar per a càlculs més complexos»., pag 14.
Àbac a l'antic Egipte L'historiador grec Heròdot esmenta l'ús de l'àbac a l'antic Egipte. Descriu que els egipcis manipulaven els còdols de dreta a esquerra, en contraposició a la direcció esquerra-dreta emprada pels grecs. S'han trobat diverses restes arqueològiques en forma de discs de diferents mides, fet que porta a pensar als arqueòlegs que foren emprats com a comptes de l'àbac. Tanmateix, no s'han trobat descripcions de paret d'aquest instrument,, pag 160. fet que suscita algun dubte sobre l'abast de la utilització d'aquest instrument.
Àbac a Pèrsia Durant la Dinastia Aquemènida, al voltant de 600 aC els perses començaren a estendre l'ús de l'àbac. Sota els imperis arsàcides i sassànida, els estudiosos d'aquests intercanviarien coneixements i invencions amb els pobles veïns (l'Índia, la Xina, i l'Imperi Romà). Es considera que aquest intercanvi de coneixement i tecnologia portà l'expansió en l'ús de l'àbac a la resta de països.
Àbacs en què les xifres es representen per la posició d'un conjunt de pedres o indicadors Les diferents civilitzacions han desenvolupat o adaptat diferents àbacs. En general, fan servir un sistema de numeració posicional de base decimal i quinària. Les diferències entre els uns i els altres es troben en si les pedres estan unides o no a la taula, si els decimals també són en base deu o base dotze, la posició cap on es desplacen les pedres per a adoptar valors significatius. En el cas de l'àbac xinès hi ha més pedres per a permetre emprar nombres en base 16.
En aquests àbacs les operacions d'addició i sostracció són gairebé immediates afegint o traient les pedres que representen un nombre de les que representen l'altre i arranjant el resultat.
Les multiplicacions consisteixen a sumar repetides vegades el nombre, però aprofitant les propietats de la base decimal i quinària el nombre de sumes es redueix. Així, multiplicar per deu és desplaçar les pedres una columna, multiplicar per cinc és desplaçar-les mitja i arranjar-les, o multiplicar per 8 és multiplicar per 10 i restar el doble.
Pel que fa a les divisions es basen a restar repetidament del dividend el divisor i comptar quantes vegades es pot fer l'operació, però aprofitant principis com l'anterior per reduir el nombre de moviments.
La multiplicació i la divisió requereixen més moviments que amb els àbacs que empren símbols per representar les xifres, però no cal aprendre les taules de multiplicar per a emprar-los.
miniatura|Una fotografia antiga de l'Àbac grec de Salamina. L'original és de marbre i es troba al museu nacional d'epigrafia d'Atenes.
Àbac grec de Salamina
L'àbac grec de Salamina és una taula de marbre trobada a Salamina el 1846. Està datat al voltant de l'any 300 aC. Les mides de la taula de marbre són de 150 × 75 × 4,5 cm.A Brief History of the Abacus
A la taula hi apareixen cinc grups de marques.
Els tres conjunts de símbols grecs arranjats al llarg de les vores esquerra, dreta i la de davall de la taula són els nombres del sistema acrofònic.
Al centre de la taula hi ha un conjunt de 5 línies paral·leles dividides al mig per una línia vertical, coberta d'una semicircumferència en la intersecció de la línia horitzontal de més avall i la línia vertical. Sota una escletxa horitzontal àmplia hi ha un altre grup d'onze línies paral·leles. Aquestes es divideixen en dues seccions per una línia perpendicular a elles, però amb la semicircumferència en la part superior de la intersecció; les terceres, sisenes i novenes d'aquestes línies estan marcades amb una creu al punt on s'encreuen amb la línia vertical.
Àbac romà
miniatura|esquerra|Àbac romà. Consisteix en una tauleta amb solcs. A la dreta hi ha una columna de tres solcs identificats amb els símbols S (semiunça), (Quart d'unça) i Z o 2 (terç d'unça). Seguint cap a l'esquerra hi ha una columna de dos solcs, un a baix i un altre a dalt identificats amb el símbol θ (que vol dir unça). Llavors venen 7 columnes de dos solcs cada una, identificades successivament de dreta a esquerra amb I (unitats), X (desenes), C (centenes), CI (milers), CCI (desenes de milers), CCCi (centenes de milers) i |X| (milions).Enciclopèdia Espasa. Tomo 1 pàgina 76
A les columnes de solcs corresponents des de les unitats fins als milions, la columna de davall conté quatre pedretes i la de damunt en té una. Per representar una xifra de l'1 al 4 es desplaça cap amunt el corresponent nombre de pedres del solc de davall. Per representar el 5 es desplaça la pedra del solc del damunt. Les xifres del 6 al 9 es representen deixant a dalt la pedra del solc del damunt i desplaçant del solc de davall tantes pedres com unitats passen de 5.
La columna de les unces serveix per representar fraccions duodecimals. Al solc de davall hi ha 5 pedres i al de damunt n'hi ha una. Cada pedra del davall representa una dotzena part i la del damunt sis dotzenes parts. Afegint les dues es poden representar des d'una fins a onze dotzenes parts.
El solc S té una pedra que desplaçant-la representa mitja unça o, cosa que és el mateix, 1/24 part d'unitat. El també en té una per representar 1/48 part i el 2 en té dues i permet representar 1 o 2 terços d'unça o 1/36 o 2/36 parts d'unitat.
Àbac xinès
miniatura|Àbac xinès El suanpan és un àbac d'origen xinès descrit per primera vegada en un llibre del 190 de la dinastia Han, titulat Notes Suplementàries sobre l'Art de les Xifres escrit per Xu Yue.
El famós panorama Al llarg del riu durant el Festival Qingming pintat per Zhang Zeduan (1085-1145) durant la dinastia Song (960-1279) podria contenir un suanpan al costat d'un llibre de comptes i les prescripcions del metge al taulell d'un apotecari). Tanmateix, la identificació de l'objecte com a àbac és una qüestió discutida.Martzloff, pàg. 216
El suanpan 5+1 va aparèixer durant la dinastia Ming, una il·lustració en un llibre de 1573 sobre el suanpan mostrava un suanpan amb un gra a damunt i cinc al davall. Això no obstant, l'àbac més comú va ser el de 5+2, tal com es descriu en el popular llibre Suanfa tongzong (1592) de Cheng Dawei.
La similitud de l'àbac romà amb el xinès suggereix que un podria haver inspirat l'altre, ja que hi ha una alguna evidència de relació comercial entre l'Imperi Romà i la Xina. Tanmateix, no es pot demostrar cap connexió directa, i la similitud entre els àbacs pot ser fortuïta, havent sorgit tots dos del fet de comptar amb cinc dits de cada mà. On el model romà i el xinès tenen 4 més 1 grans per lloc decimal, la versió antiga del suanpan xinès en té 5 més 2, fet que simplifica els algoritmes aritmètics, i també permetent usar-lo amb un sistema de numeració hexadecimal. En comptes de córrer en filferros com en els models xinesos i japonesos, els grans del model romà corren en solcs, presumiblement fent molt més lents els càlculs aritmètics.
Un altre origen possible del suanpan són les barres de comptes xineses, que operaven amb un sistema de valor posicional decimal amb un lloc buit com a zero.
Hi ha dos tipus de grans en el suanpan, els de la part de baix, sota de la barra de separadors, i els de la part superior damunt d'aquesta. Els de la part de baix s'anomenen de vegades grans de terra o grans d'aigua, i tenen un valor d'1 a la seva columna. Els de la part superior s'anomenen a vegades grans del cel i tenen un valor de 5 a la seva columna. Les columnes són com els llocs en xifres decimals: una de les columnes, normalment la de la més a la dreta, representa el lloc de les unitats; a l'esquerra d'aquesta les desenes, els centenars, els milers, etcètera, i si hi ha columnes a la dreta de les unitats, són el lloc de dècimes, lloc de les centèsimes, etcètera.
El suanpan és un àbac de 2:5: dos grans de cel i cinc grans de terra. Per, de fet, representar nombres decimals i sumar o restar tals nombres, estrictament es necessita només un gra superior i quatre grans inferiors a cada columna. Així aquests grans extres es podrien utilitzar per representar nombres hexadecimals en el suanpan i sumar-los o restar-los. També, alguns mètodes "antics" per multiplicar o per dividir nombres decimals utilitzen aquells grans extres com la «tècnica de gra extra» o la «tècnica del gra suspès».
miniatura|Àbac japonès representant el nombre 987.654.321
Àbac japonès
El soroban (算盤, そろばん) o àbac japonès, és una evolució de l'àbac xinès que va ser importat al Japó en el en el període Muromachi. Va prendre la seva forma actual en els anys 1930. No implica més que el mínim de boles requerides per efectuar les operacions sobre l'àbac. És a dir una de sola quinària (dalt de l'àbac) i 4 d'unàries (a baix). En general, un soroban té almenys una quinzena de columnes, però pot arribar a tenir-ne fins a 21, 23, 27 o 31 columnes.
Àbac rus miniatura|Àbac rus