Полиноми на Чебишев или още многочлени на Чебишьов, са две редици от ортогонални полиноми и , наречени съответно полиноми на Чебишев от първи и втори род на името на руския математик Пафнутий Чебишев.

Определения Рекурентно определение Полиномите на Чебишев от първи род са многочлени от n-та степен с коефициент пред неизвестното на най-висока степен (старши коефициент) , които най-малко се отклоняват от нула в интервала [-1;1] и се дефинират от следното рекурентно съотношение:

Полиномите на Чебишев от втори род са многочлени от n-та степен с два пъти по-голям старши коефициент отколкото при първи род , на които интегралът от абсолютната им стойност има най-малката възможна величина в интервала [-1;1] и се дефинират със същото рекурентно съотношение за n-тия член на редицата:

Тригонометрично определение Полиномите на Чебишев от първи и втори род могат да бъдат дефинирани като уникални многочлени, удовлетворяващи равенствата и

за .

Еквивалентен начин да се изрази това е чрез степенуване на комплексно число: дадено е комплексно число с абсолютна стойност едно,

Полиномите на Чебишев могат да бъдат дефинирани и в тази форма при изучаване на тригонометрични полиноми.

Това, че е полином от -та степен на , може да се види, като се наблюдава, че е реалната част на едната страна на формулата на Моавър:

Реалната част на другата страна е полином от и , в който всички степени на са четни и следователно заместими чрез тъждеството . По същото разсъждение е имагинерната част на полинома, в който всички степени на са нечетни и следователно, ако един множител на бъде изваден от множителите, останалите множители могат да бъдат заместени, за да се създаде полином от степен от .

За спрямо интервала [-1,1], горното определение предполага

Определение чрез комутиращи полиноми Полиномите на Чебишев могат да бъдат характеризирани и със следната теорема:

Ако е семейство от мониални полиноми с коефициенти в поле с характеристика , такива че и за всички и , тогава, с точност до проста замяна на променливите, или за всички или за всички .

Определение чрез уравнението на Пел Полиномите на Чебишев могат да бъдат дефинирани и като решения на уравнението на ПелВ математиката уравнението на Пел е диофантово уравнение от вида

където е естествено число, което не е квадрат.

в пръстен ⁠⁠. По този начин те могат да бъдат генерирани чрез стандартната техника за уравненията на Пел за вземане на степени на основното решение:

Източници

Категория:Алгебра