Средностепенна стойност (СС) или средностепенно е вид средна стойност на набор от числа в математиката, която се получава чрез повдигане на всички числа на степен , намиране на средноаритметичната стойност на тези -ти степени и взимане на -ия корен от тази средна стойност. Тя обобщава средните стойности, известни от питагорейците като архимедови средни: аритметична, геометрична, квадратична и хармонична, чрез въвеждане на параметъра . Затова в чуждоезичната литература се нарича още средно обобщено и генерализирано средно. Във връзка с неравенствата на Хьолдер и Минковски средностепенното също има имената средно на Хьолдер (Ото Хьолдер, 1859 – 1937) и средно на Минковски (Херман Минковски, 1864 – 1909).
Обозначава се с различни символи: и др.
Средностепенното е частен случай на средното квазиаритметично, известно още като „средно на Колмогоров“ ().
Разновидност на средностепенното е претегленото средностепенно.
Определение Ако е набор от положителни реални числа и е ненулево реално число, тогава средностепенната стойност с показател на набора от числа е: P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 175 – 177
Ако числата от набора са умножени с поредица от положителни тегла , се дефинира понятието средностепенно претеглено:
Частни случаи
Средностепенните стойности за и имат свои собствени имена: Weisstein Eric – Power Mean, MathWorld, retrieved 2019-08-17. се нарича средно аритметично; (с други думи: средноаритметичното на числа е тяхната сума, разделена на ) е средно геометрично; (с други думи: средното геометрично на числа е -ия корен от произведението на тези числа) се нарича средно хармонично. (с други думи: средната хармонична стойност на числата е реципрочната на средната аритметична на техните реципрочни стойности) се нарича средноквадратично, известно също със съкращението RMS ().
В статистическата практика се използват и средностепенни от трети и по-високи редове. Най-често срещаните от тях са средните кубични и средните биквадратични стойности: се нарича среднокубично се нарича среднобиквадратично Минималното и максималното число от набор от положителни числа се изразяват като средните степени и на тези числа:
Свойства За редицата от положителни реални числа са валидни следните свойства:
Всяко средностепенно винаги се намира между най-малката и най-голямата стойност на : .
Всяка средностепенна стойност е симетрична функция на своите аргументи; пермутирането на аргументите на средностепенното не променя неговата стойност: , където е пермутационен оператор.
Като повечето средства, средностепенната стойност е хомогенна функция на своите аргументи . Тоест, ако е положително реално число, тогава средностепенна стойност с показател на числата е равна на пъти средностепенното на числата :
Подобно на квазиаритметичните средни стойности, изчисляването на средностепенната стойност може да бъде разделено на изчисления на еднакви по размер подблокове. Това позволява използването на алгоритъм „разделяй и владей“ за изчисляване на средните стойности, когато е желателно: .
Обобщено неравенство на средните Като цяло, ако , тогава
и двете средни са равни тогава и само тогава ако .
Неравенството е вярно за реални стойности на и , както и за положителни и отрицателни стойности за безкрайност. То следва от факта, че за всички реални ,
което може да се докаже с помощта на неравенството на Йенсен.
По-специално, за в {−1, 0, 1}, средностепенното предполага неравенството на Питагоровите средни (), както и неравенството на средните аритметични и геометрични: , , или
Източници и бележки
Категория:Алгебра Категория:Средни стойности