W latach 1938–1959 otrzymywał rządowe stypendium twórcze.
W 1949 był członkiem założycielem Finnish Society for Contemporary Music, które od 1951 jest fińskim oddziałem Międzynarodowego Towarzystwa Muzyki Współczesnej (ISCM). Od 1959 zasiadał w Suomen Akatemia jako przedstawiciel muzyki. Zastąpił na tym stanowisku Yrjö Kilpinena. Odznaczony został krzyżami komandorskimi Orderu Białej Róży Finlandii i Orderu Lwa Finlandii.
Zmarł na atak serca w maju 1961. Został pochowany na cmentarzu Hietaniemi w Helsinkach.
Twórczość Klami zaczął komponować już w czasie studiów w Instytucie Muzycznym w Helsinkach. Jego kwartet fortepianowy (1922), kwintet fortepianowy i suita na kwartet smyczkowy zwróciły uwagę współczesnych mu krytyków ze względu na swój modernizm i francuskie wpływy. W Paryżu zafascynował się różnorodnością muzyki tradycyjnej. Wykorzystywał jazz w swoim I Koncercie fortepianowym Une nuit à Montmartre (1925) i w Rag-Time & Blues (1931), zainspirowany tradycyjną muzyką hiszpańską napisał Habanerę na orkiestrę (1926), natomiast swoją fascynację Dalekim Wschodem wyraził w Kolme kiinalaista laulua (Three Chinese Songs, 1928, zaginione).