dla każdego zbioru otwartego w zachodzi
Jeżeli
jest funkcją mierzalną, to dla każdego istnieje taki zbiór zwarty że .
Wersja dla przestrzeni normalnych Niech będzie przestrzenią normalną ze skończoną miarą borelowską, która jest regularna. Jeżeli
jest funkcją mierzalną, to dla każdego istnieje taki zbiór domknięty że
oraz restrykcja jest funkcją ciągłą.
Aproksymacja funkcją ciągłą Niech Każda przestrzeń metryczna jest normalna, więc twierdzenie Tietzego-Urysohna stosuje się do restrykcji w wypowiedzi twierdzenia dla przestrzeni polskich i normalnych. W przypadku dotyczącym przestrzeni lokalnie zwartych zbiór jest zwarty, więc stosuje się wówczas wersja tego twierdzenia dla przestrzeni lokalnie zwartych. Oznacza to, że w każdym z tych trzech przypadków istnieje taka funkcja ciągła
że
oraz .
W przypadku lokalnie zwartym, może być dodatkowo dobrana tak by znikała ona w nieskończoności, tj. dla każdego zbiór
jest zwarty.
Sformułowanie twierdzenia dla funkcji przyjmujących wartości w przestrzeniach spełniających drugi aksjomat przeliczalności pochodzi od SchaerfaH. M. Schaerf, On the continuity of measurable functions in neighborhood spaces, Portugaliae Math.