Wykładał historię i patrologię oraz metodykę pracy naukowej, prowadził również seminarium naukowe.

W latach 90. na Wydziale Historii Kościoła Papieskiej Akademii Teologicznej w Krakowie wykładał na kursie magistranckim dzieje Kościoła Wschodniego. Przebywał na urlopie naukowym w Rzymie (1969–1971).

Należał do kilku organizacji o charakterze naukowym: Towarzystwa Naukowego KUL, Instytutu Geografii Historycznej Kościoła KUL, Rady Naukowej Instytutu Ekumenicznego KUL, Polskiego Towarzystwa Teologicznego i Towarzystwa Przyjaciół Nauk w Przemyślu. W latach 1972–1982 był dyrektorem biblioteki seminaryjnej, a w latach 1976–1979 r. biblioteki diecezjalnej. Zajmował się historią Kościoła. Był redaktorem naczelnym pisma „Premislia Christiana” (Przemyśl od 1988). Towarzystwo Przyjaciół Nauk w Przemyślu w 2017 r. nadało mu tytuł honorowego członka. Przez wiele lat był kapelanem Sióstr Albertynek oraz duszpasterzem w Domu Pomocy Społecznej na Bakończycach w Przemyślu.

Zmarł 17 czerwca 2024 r. w Przemyślu, pogrzeb ks. prof. Śliwy odbył się 19 czerwca 2024 roku, w rodzinnej parafii pod wezwaniem św. Józefa w Wysokiej Strzyżowskiej pod przewodnictwem abpa przemyskiego Adama Szala. W pogrzebie uczestniczyli m.in.