i gdzie i to wtedy i tylko wtedy, gdy Co więcej wtedy i tylko wtedy, gdy W tym przypadku
Dowód Ponieważ to możliwa jest konstrukcja grupy ilorazowej Homomorfizm naturalny jest „na”, można zatem zastosować powyższe twierdzenie – zgodnie z nim dowolna podgrupa w jest postaci dla pewnej gdzie ( oznacza zawężenie do ). Jest
oraz na mocy twierdzenia ( ma sens, ponieważ oraz pociągają ). Zatem podgrupy mają postać gdzie Zgodnie z częściami (2), (3), (4) twierdzenia wtedy i tylko wtedy, gdy oraz Wreszcie wtedy i tylko wtedy, gdy na mocy części (6) twierdzenia i w tym przypadku na mocy (7), co kończy dowód.
W szczególności prawdziwe są też następujące obserwacje: jeśli to gdzie oznacza indeks podgrupy w grupie (tj. liczbę warstw podgrupy w grupie ); gdzie oznacza podgrupę generowaną przez Jeżeli są normalne, a nawet tylko permutowalne, to jest w istocie ich iloczynem kompleksowym w szczególności oba powyższe warunki są spełnione, gdy jest przemienna.;
przy czym lista ta jest daleko niewyczerpująca, ponieważ większość właściwości podgrup zachowuje się w obrazach bijekcyjnych na podgrupy grup ilorazowych.
Zobacz też krata podgrup modularność
Uwagi
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. [dostęp 2025-12-04].
o odpowiedniości Kategoria:Podgrupy Kategoria:Twierdzenia o pierścieniach Kategoria:Teoria modułów