a więc jest zamknięte ze względu na branie odwrotności; dowodzimy, że jest podgrupą w
Dalej, to że zawiera jest trywialne: jeśli to czyli a więc stąd
Pozostaje dowieść otóż zachodzi
zgodnie z tezą (ta część pokazuje, że odpowiedniość jest „na”).; (6) dla zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy Najpierw zakładając wykazane zostanie Posłuży do tego jedna z charakteryzacji podgrup normalnych: pokazane zostanie dla dowolnych oraz dla dowolnych Jeśli oraz to istnieją gdzie oraz gdzie Jest tak, ponieważ jest na a jest określona jako Należy wykazać, że co jest równoważne Ponieważ to wiadomo, że skąd Dowodzi to
Zakładając teraz należy dowieść można to zrobić naśladując powyższe rozumowanie, jednak zostanie wykorzystany fakt, że podgrupy normalne i jądra to te same obiekty – ta metoda zostanie wykorzystana również w dowodzie części (7).
Z twierdzenia o homomorfizmie naturalnym (zob. rozkład grupy ilorazowej) gdzie jest homomorfizmem naturalnym. Złożenie również jest homomorfizmem;