lemat do twierdzenia Jordana-Höldera).
Sam autor zasygnalizował w przypisach, że twierdzenie zachodzi również dla grup z operatorami, jednak twierdzenie uogólnia się też na moduły, a nawet kraty modularne (dla których zachodzi lemat Zassenhausa pociągający twierdzenie Schreiera).
Twierdzenie
Niech
oraz
oznaczają dwa ciągi podnormalne grupy ( oznacza podgrupę trywialną).
Wówczas istnieją równoważne ciągi grupy będące odpowiednio zagęszczeniami ciągów
Dowód
Między każdymi dwiema grupami a skonstruowany zostanie z ciągu taki ciąg, który będzie zaczynać się od i kończyć na Istnieją dwa naturalne sposoby osiągnięcia tego celu: pierwszym jest pomnożenie każdego z wyrazów ciągu przez (dzięki temu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od ) oraz przecięcie iloczynów z (dzięki temu zmieniony ciąg będzie się kończył na ); drugim sposobem jest przecięcie każdego z wyrazów z (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się kończył na ) i pomnożenie przecięć przez (dzięki czemu otrzymany ciąg będzie się zaczynał od ) – jednak zgodnie z prawem modularności Dedekinda oba te ciągi między a są identyczne.
Niech i podobnie ( ). Ponieważ to (jako iloczyn półprosty;