Niedługo potem zagrał jedną z najważniejszych ról w swojej karierze – księcia Alberta w spektaklu Giselle.
W 1964 roku nawiązał współpracę z baletmistrzem Jurijem Grigorowiczem z Teatru Bolszoj. W 1966 roku zadebiutował w sztuce Le Spectre de la rose, a dwa lata później zatańczył w nowej wersji baletu Spartakus. W latach 70. Liepa coraz rzadziej występował w produkcjach przygotowywanych przez Teatr Bolszoj, a w 1977 roku zagrał swoją ostatnią dużą rolę w sztuce Cipollino. Po odejściu z teatru tańczył i organizował kilka występów oraz zaczął współpracę z grupą baletową Borisa Ejfmana.
W 1981 roku ukazała się napisana przez Liepę książka pt. "Chcę tańczyć sto lat" (Es gribu dejot simt gadu). W 1982 roku tancerz ogłosił chęć zakończenia kariery tanecznej. W kolejnych latach pracował jako nauczyciel baletu, a w latach 1983-85 pełnił funkcję Dyrektora Artystycznego Opery Narodowej w Sofii. W 1989 roku założył swój własny balet w Moskwie.
W trakcie swojej kariery tanecznej Liepa wygrał wiele nagród tanecznych, w tym m.in. medal im. Konstantina Stanisławskiego, nagrodę Paryskiej Akademii Baletowej im. Vaslava Nijinsky'ego oraz Nagrodę im. Mariusa Petipy.