Jeśli ciało K jest rozszerzeniem o pierwotny n-ty pierwiastek jedności oraz n-ty pierwiastek elementu ciała K, to tzw. rozszerzenie Kummera jest rozszerzeniem abelowym (jeśli K ma charakterystykę p, to możemy powiedzieć, że p nie dzieli n, ponieważ w przeciwnym razie może to nie być nawet rozszerzenie rozdzielcze). Na ogół jednak, grupy Galois pierwiastków n-tych elementów działają zarówno na n-tych pierwiastkach elementów ciała K i na pierwiastkach z jedynki, dając nieabelową grupę Galois jako iloczyn półprosty. Teoria Kummera daje pełny opis rozszerzeń abelowych, a twierdzenie Kroneckera-Webera mówi, że jeśli K jest ciałem liczb wymiernych, to rozszerzenie jest abelowe wtedy i tylko wtedy, gdy jest podciałem ciała uzyskanego przez rozszerzenie o n-ty pierwotny pierwiastek z jedynki.
Istnieje ważna analogia z grupą podstawową w topologii, która klasyfikuje wszystkie przestrzenie pokrywające przestrzeń: pokrycia abelowe klasyfikowane są przez jego abelianizację, która odnosi się bezpośrednio do pierwszej grupy homologii.
Bibliografia
Linki zewnętrzne Abelian extension , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Algebraiczna teoria liczb