Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że jeżeli zmienna losowa jest dodatnio określona prawie wszędzie to jej wartość oczekiwana jest dodatnia. Ponieważ zmienna losowa jest dodatnio określona, mamy:
3.
Dowód. Korzystając z definicji wariancji, a następnie z liniowości wartości oczekiwanej mamy:
4.
Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że dla stałej i z liniowości:
5. w ogólnym przypadku; (gdzie to kowariancja)
Dowód. Sprawdzone zostanie tylko twierdzenie dla sumy, twierdzenie dla różnicy rozwiązuje się analogicznie. Czyli mamy:
Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej i definicji kowariancji, mamy:
Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli zmienne i są niezależne, zachodzi:
Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.
Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe).
Zobacz też