Własności Poniżej M oznacza przestrzeń metryczną z wyróżnionym punktem 0 ∈ M. Przestrzeń sprzężona F(M)* jest w naturalny sposób izometrycznie izomorficzna z Lip0(M). Jeżeli A ⊆ M, 0 ∈ A, to F(A) ⊆ F(M). Niech f: M → M będzie odwzorowaniem lipschitzowskim spełniającym warunek f(0) = 0. Wówczas istnieje taki ograniczony operator liniowy T: F(M) → F(M), którego norma jest równa stałej Lipschitza funkcji f, iż T|δ(M) = f. Niech M będzie przestrzenią Banacha. Wówczas odwzorowanie δ jest izometrią, która nie jest różniczowalna w sensie Gâteaux. Dowód. Gdyby funkcja t → δ(u + tv) była różniczkowalna w sensie Gâteaux w zerze, to w szczególności, dla każdego f ∈ Lip0(M) funkcja t → f(u + tv) byłaby różniczkowalna w zerze. To jednak nie jest możliwe w przypadku, gdy f(x) = ||x - u|| - ||u||.
Przykłady Przestrzeń F(R) jest izomorficzna z L1 jednak F(R2) nie jest izomorficzna z podprzestrzenią L1A. Naor, G. Schechtman, Planar earthmover is not in L1, SIAM J. Comput. 37 (3) (2007), 804–826..
Przypisy
Kategoria:Przestrzenie Banacha