Rok później Llamas odnotował swoje najbardziej prestiżowe zwycięstwo w zespole narodowym, pokonał bowiem w trzech setach przyszłego dwukrotnego zdobywcę Wielkiego Szlema, Australijczyka Lavera; Meksykanie ulegli jednak ostatecznie Australijczykom, zaś Llamas przegrał w grze pojedynczej z Emersonem, a w deblu w parze z Tonym Palafoxem z Emersonem i Fraserem.
W 1962 Llamas, któremu nadano przydomek „El Ferrocarrilero”, miał znaczący udział w największym sukcesie Meksyku w historii jego startów w Pucharze Davisa. W silnej ekipie pod wodzą kapitana Pancho Contrerasa, obok młodszych o dekadę zwycięzców imprez wielkoszlemowych Osuny i Palafoxa, pełnił raczej rolę rezerwowego, ale wystąpił w tymże roku w zwycięskim półfinale strefowym przeciw Amerykanom (przegrał w pięciu setach z McKinleyem), w finale strefy amerykańskiej przeciw Jugosławii oraz w finale międzystrefowym przeciwko Indiom (pokonał Premjita Lalla). Został również powołany przez Contrerasa na mecz „challenge round”, czyli faktyczny mecz o trofeum z ubiegłorocznymi zwycięzcami – Australijczykami Hopmana – zwolnionymi z obowiązków eliminacyjnych; na kort w decydującym spotkaniu nie wyszedł, zaś Osunie i Palafoxowi nie udało się wygrać żadnego pojedynku.