Podczas I wojny światowej odbył półroczną służbę wojskową na froncie na przełomie 1917/1918, a później pracował jeszcze w Niewistce, Nozdrzcu (majątek rodziny Skrzyńskich) i Hroszówce. Jego żona Anna pochodziła z Sanoka, pracowała jako nauczycielka z Witryłowie. Mieczysław był drugim dzieckiem Przystaszów, przed nim urodził się Zbigniew (1912), a po nim Danuta (1920). Ojcem chrzestnym Mieczysława Przystasza był Józef Mączka, późniejszy oficer i poeta legionowy. Wobec konieczności nauki szkolnej dzieci, w 1920 rodzina osiadła w Sanoku (zamieszkiwała początkowo przy ulicy Królewskiej, następnie w samodzielnie budowanym od 1931 domu przy ulicy Młynarskiej 18). W Sanoku Przystaszowie przyjaźnili się z rodziną Florkowskich, w tym Aleksandrem.
23 czerwca 1933 zdał egzamin dojrzałości w Państwowym Gimnazjum im. Królowej Zofii w Sanoku (w jego klasie byli m.in. Zygmunt Bezucha, Edward Czech, Stefan Stefański, Mieczysław Suwała). Był członkiem Sodalicji Mariańskiej, pełniąc funkcję prezesa. Podjął studia prawnicze na Wydziale Prawa Uniwersytetu Jana Kazimierza we Lwowie (podobnie jak wcześniej brat Zbigniew), które po drugim roku kontynuował na Wydziale Prawa Uniwersytetu Józefa Piłsudskiego w Warszawie i w 1938 ukończył je uzyskując dyplom magistra praw. W Warszawie zamieszkiwał wraz z bratem Zbigniewem w Domu Akademickim im.