Od sezonu 2015/2016 zaprzestał startów w kombinacji norweskiej i skupił się na skokach narciarskich. We wrześniu 2015 wystąpił w zawodach Letniego Grand Prix, zajmując 14. lokatę w Czajkowskim. W Pucharze Świata w skokach narciarskich zadebiutował 22 listopada 2015, zajmując 32. miejsce w konkursie w Klingenthal. Pierwsze punkty w PŚ w skokach wywalczył w zawodach rozgrywanych w Niżnym Tagile 12 grudnia 2015, kiedy to zajął 18. miejsce. Był to najlepszy występ Klimowa w Pucharze Świata w sezonie, później jeszcze trzykrotnie zajmował w cyklu miejsca w trzeciej dziesiątce.
W sezonie 2016/2017 Pucharu Świata regularnie zajmował punktowane pozycje. 4 stycznia 2017 po raz pierwszy stanął na podium indywidualnego konkursu cyklu. Stało się to w Innsbrucku podczas 65. Turnieju Czterech Skoczni, kiedy to zajął trzecie miejsce w konkursie skróconym z powodu warunków atmosferycznych do jednej serii. Miejsca w najlepszej dziesiątce PŚ zajął jeszcze w sezonie dwukrotnie: był 10. w Zakopanem i 7. w Pjongczangu. W klasyfikacji generalnej sezon zakończył na 17. pozycji z 382 punktami. Wystąpił na Mistrzostwach Świata w Narciarstwie Klasycznym 2017. Indywidualnie zajął 22. miejsce na skoczni normalnej i 20. na dużej, a w zawodach drużynowych był 6. w zespole mieszanym i 9.