Z lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w istnieje element maksymalny. Niech będzie filtrem w zbiorze Wówczas jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch podzbiorów zbioru jeśli to lub . Niech będzie filtrem w zbiorze Wówczas jest ultrafiltrem wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego albo albo . Każdy filtr jest częścią wspólną wszystkich majoryzujących go ultrafiltrów. Jeżeli jest niepustym zbiorem, to dla każdego rodzina
jest ultrafiltrem w bo dla każdego zbioru dokładnie jeden ze zbiorów i należy do
Filtr indukowany Jeśli jest filtrem w zbiorze oraz to zbiór nazywany jest śladem tego filtra na zbiorze Ślad ten jest filtrem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór rodziny ma niepuste przecięcie ze zbiorem i nazywany jest wtedy filtrem indukowanym w przez .
Ultrafiltr w zbiorze indukuje filtr wtedy i tylko wtedy, gdy Filtr jest wtedy ultrafiltrem.