Po zdobyciu III nagrody na 1. Międzynarodowym Konkursie Wokalnym w Tuluzie (1954), był zapraszany i śpiewał na wielu scenach Francji. Po powrocie do Polski został solistą Teatru Wielkiego w Warszawie, gdzie śpiewał od 1954 do 1965. W tym czasie występował też w Bazylei, gdyż dyrekcja tamtejszego Teatru Operowego podpisała z nim umowę na stałe występy w latach 1958–1961. Jego śpiew uświetniał też uroczystości związane z 500. rocznicą założenia Uniwersytetu w Bazylei. Kossowski śpiewał tytułową rolę w wystawionej z tej okazji operze Borys Godunow.
W czasie swojej kariery występował na ważniejszych scenach niemal całej Europy. Śpiewał podczas spektakli operowych (opanował ponad 60 różnych partii wokalnych), ale również na różnego rodzaju koncertach i festiwalach, na których wykonywał także utwory kompozytorów współczesnych (oprócz arii operowych jego repertuar obejmował też ok. 50 partii oratoryjnych i wiele pieśni).
Przez długi okres (od 1972 do 1997) nauczał młodych śpiewaków w warszawskiej Akademii Muzycznej.