np. pojawia się tylko jeden raz.
Kilka funkcji o kilku zmiennych z wyższymi pochodnymi Jeżeli jest nieznanych funkcji zależnych od zmiennych oraz funkcjonał zależy od pochodnych tych funkcji aż do -tego rzędu, tj.
gdzie są indeksami o wartościach od 1 do m (tj. do liczby zmiennych), to równania Eulera-Lagrange’a mają postać
gdzie sumowanie po indeksach jest takie, by nie powtarzać sumowania samych pochodnych cząstkowych kilka razy (podobnie jak w podrozdziale powyżej). Można to wyrazić w bardziej zwarty sposób w postaci:
Uogólnienia na rozmaitości Niech będzie gładką rozmaitością oraz niech oznacza przestrzeń funkcji gładkich Wtedy dla funkcjonałów w postaci
gdzie jest lagrangianem wyrażenie jest równoważne warunkowi, że dla wszystkich każdy układ w sąsiedztwie prowadzi do o równaniach:
Zobacz też Układy rozwiązane za pomocą równań Eulera-Lagrange'a: wahadło wahadło elastyczne wahadło podwójne
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-14].
Kategoria:Rachunek wariacyjny Kategoria:Równania różniczkowe cząstkowe Kategoria:Leonhard Euler Kategoria:Mechanika analityczna