Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.
Twierdzenie Taylora Niech będzie funkcją na przedziale o wartościach rzeczywistych (bądź ogólniej, o wartościach w przestrzeni unormowanej ) różniczkowalną -razy w sposób ciągły (na końcach przedziału zakłada się różniczkowalność z lewej, bądź odpowiednio, z prawej strony). Wówczas dla każdego punktu z przedziału spełniony jest wzór zwany wzorem Taylora:
gdzie jest pochodną k-tego rzędu funkcji obliczoną w punkcie przy czym spełnia warunek
Funkcja nazywana jest resztą Peana we wzorze Taylora. W przypadku gdy wzór Taylora nazywany jest wzorem Maclaurina.
Przybliżanie funkcji za pomocą wzoru Taylora ma charakter lokalny, tzn.