Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela – najpowszechniejsza forma wyrażania krzywizny rozmaitości riemannowskich. Łączy tensor z każdym punktem na rozmaitości Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopień w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny może być także zdefiniowany dla rozmaitości pseudoriemannowskiej lub każdej rozmaitości wyposażonej w połączenie afiniczne.
Stanowi główne narzędzie matematyczne w ogólnej teorii względności, nowoczesnych teoriach grawitacji, krzywizny czasoprzestrzeni. Tensor krzywizny reprezentuje siły pływowe, których doświadcza sztywne ciało poruszające się wzdłuż linii geodezyjnej czasoprzestrzeni w sensie sprecyzowanym przez równanie Jacobiego.
Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii połączenia Leviego-Civity przez formułę:
gdzie to nawias Liego pól wektorowych. Dla każdej pary wektorów stycznych istnieje liniowa transformacja przestrzeni stycznej rozmaitości. Jest liniowa w i oraz definiuje tensor. Czasami tensor krzywizny jest zdefiniowany z przeciwnym znakiem.
Formułę powyższą można też wyrazić używając pojęcia drugiej pochodnej kowariantnej:
która jest także liniowa w i Wówczas: