dla każdego oraz zachodzi
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Definicja powłoki liniowej Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową).
Definicja rozpinania przestrzeni przez zbiór wektorów Mówi się, że dany zbiór wektorów rozpina przestrzeń liniową, jeżeli wszystkie inne wektory tej przestrzeni można otrzymać w wyniku dodawania i mnożenia przez skalar wektorów tego zbioru.
Definicja liniowej niezależności wektorów Jeżeli spośród wektorów rozpinających daną przestrzeń usunięcie któregokolwiek z nich powodowałoby, że z pozostałych nie dałoby się rozpiąć tej podprzestrzeni, to mówi się, że zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
Definicja bazy przestrzeni liniowej Bazą przestrzeni nazywa się liniowo niezależny zbiór wektorów który rozpina przestrzeń
Twierdzenie o istnieniu bazy Każda przestrzeń liniowa ma bazę.
Dowód:
Niech będzie rodziną liniowo niezależnych podzbiorów zbioru Rodzina ta jest uporządkowana relację inkluzji. Na mocy twierdzenia Hausdorffa w rodzinie istnieje nieprzedłużalny łańcuch Suma tego łańcucha jest zbiorem liniowo niezależnym. Gdyby nie była bazą, istniałby wektor dla którego byłby liniowo niezależny.