ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.
Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi), otrzymuje się skąd Ponieważ jest liczbą podzielną przez 5, to i jest podzielna przez 5. Kwadrat liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 5, a niepodzielnej przez 5 – niepodzielną przez 5Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej jest liczbą podzielną przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą podzielną przez 5.
Dowód: (→) Jeśli
to równość
oznacza, że jest podzielne przez 5, gdyż jej czynnikami są liczba 5 i inna liczna naturalna. (←) Dowód nie wprost: skoro
to
czyli i są niepodzielne przez 5, gdyż można je przedstawić jako sumę składników: liczby naturalnej podzielnej przez 5 i reszty niepodzielnej przez 5.Q.e.d.; stąd liczba jest podzielna przez 5, czyli istnieje taka liczba naturalna dla której Podstawienie tego równania do poprzedniego daje zatem tj. co ponownie oznacza, że liczba a stąd i jest podzielna przez 5.
Skoro tak jak i są podzielne przez 5, to mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba jest niewymierna.