Bardziej formalnie, jeżeli jest takim zbiorem, że jego domknięcie jest zawarte we wnętrzu to włożenie indukuje izomorfizm grup homologii relatywnych: Równoważnie, jeżeli wnętrza podprzestrzeni pokrywają (tzn. ), to włożenie indukuje izomorfizm
Homologie zredukowane Definiuje się grupy homologii zredukowanych przestrzeni poprzez uzupełnienie zwykłego kompleksu łańcuchów singularnych o dodatkowy składnik w w wymiarze −1:
gdzie Dowodzi się, że tak określone przekształcenie spełnia tożsamość Homologie zredukowane przestrzeni to wtedy po prostu homologie tego kompleksu. Z zależności wynika, że indukuje przekształcenie z jądrem skąd Oczywiście, dla
Analogicznie do zwykłych homologii relatywnych definiuje się zredukowane homologie relatywne. Istnieje również odpowiednik długiego ciągu dokładnego homologii relatywnych dla homologii zredukowanych. Powstaje on poprzez uzupełnienie krótkiego ciągu dokładnego kompleksów łańcuchowych:
o dodatkowy ciąg dokładny w wymiarze −1:
W szczególności, oznacza to, że o ile
Zapisując długi ciąg dokładny zredukowanych homologii relatywnych dla pary gdzie jest dowolnym punktem otrzymujemy:
otrzymujemy izomorfizm dla każdego ponieważ dla każdego
Bibliografia Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, and . J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, .
Kategoria:Topologia algebraiczna