Funkcje Legendre’a wyrażone za pomocą kąta Funkcje Stowarzyszone funkcje Legendre’a są najbardziej użyteczne, gdy ich argument wyrazi się w funkcji kąta: podstawiając do równania Legendre’a (por. wstęp do artykułu) wielkość oraz używając relacji otrzymuje się równanie różniczkowe zależne od dwóch parametrów postaci
Rozwiązaniami tego równania są funkcje zmiennej takie że
gdzie wielomianami Legendre’a z argumentem przy czym rozwiązania są nieosobliwe tylko gdy spełnione są warunki:
(1) oraz
(2) są liczbami całkowitymi, takimi że
Relacje ortogonalności (1) Dla ustalonego funkcje z parametrem są ortogonalne z wagą
(2) Także, dla danego mamy
Ogólne rozwiązanie Ogólne rozwiązanie można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji o różnych wartościach parametrów Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.
Przykłady stowarzyszonych funkcji Legendre’a
Zastosowania w fizyce