Przedział nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych

jest pokryciem tego przedziału (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały przedział

(2) Tw. 2. Przedział nie jest zbiorem zwartym.

Dowód: Rodzina zbiorów otwartych

jest pokryciem zbioru ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby

(3) Tw. 3. Przedział jest zwarty.

Dowód: Niech będzie pokryciem odcinka Zdefiniujmy zbiór i odcinek można pokryć skończoną podrodziną rodziny Oczywiście bo przedział jest pokryty pewnym elementem rodziny Zbiór jest więc niepusty i ograniczony z góry. Ma więc kres górny   i   Zauważmy, że bo biorąc jakieś otoczenie punktu znajdziemy pewien przedział a stąd czyli Przypuśćmy, że i niech dla pewnego przedziału otwartego istnieje wówczas przedział Ponieważ jest kresem górnym zbioru więc w przedziale istnieje punkt Istnieje więc skończona podrodzina pokrywająca przedział A stąd przedział jest pokryty przez skończoną rodzinę Oznacza to, że i nie jest kresem górnym zbioru Sprzeczność ta pokazuje, że Niech dla pewnego zbioru otwartego i rozważmy przedział Podobnie jak wyżej, jest kresem górnym zbioru więc w przedziale istnieje punkt Istnieje więc skończona podrodzina pokrywająca przedział A