Możemy przepisać je w następujący sposób:
Ponieważ pochodna cząstkowa jest po prostu stosunkiem i dla możemy otrzymać to, podstawiając w powyższym równaniu i rozwiązując je, by otrzymać ten stosunek. Otrzymujemy wtedy:
co daje nam wyrażenie:
Wyrażenie na stosunek pojemności cieplnych można uzyskać w następujący sposób:
Pochodna cząstkowa w liczniku może być wyrażona jako stosunek pochodnych cząstkowych ciśnienia w odniesieniu do temperatury i entropii. Jeżeli w wyrażeniu
założymy i rozwiążemy stosunek otrzymamy W ten sposób otrzymujemy:
Podobnie możemy przepisać pochodną cząstkową poprzez wyrażenie w zakresie i zakładając i rozwiązując stosunek jeśli podstawimy to wyrażenie w stosunku pojemności cieplnej wyrażonej jako stosunek pochodnych cząstkowych powyższej entropii, otrzymamy:
Łącząc razem dwie pochodne przy stałej S:
Łącząc razem dwie pochodne przy stałej T:
Możemy więc napisać:
Gaz doskonały Postaramy się otrzymać wyrażenie dla gazu doskonałego.
Gaz doskonały ma równanie stanu:
gdzie: – ciśnienie, – objętość, – liczba moli, – stała gazowa, – temperatura.
Równanie stanu gazu doskonałego może być łatwo przekształcone, dając: lub
Z powyższego równania stanu łatwo otrzymać następujące pochodne cząstkowe:
Dla współczynnika rozszerzalności cieplnej otrzymuje się poniższe proste wyrażenie: