Tę relację równoważności nazywa się jądrem funkcji Dowolna funkcja z do rozkłada się na: jedną funkcję która mapuje element A do tej części jądra, do której on należy, oraz inną funkcję, która jest koniecznie różnowartościowa, która mapuje jądro w zbiór
Pierwszy z tych dwóch czynników jest całkowicie określony przez podział π, który jest jądrem. Liczba funkcji różnowartościowych z π do jest równa gdzie jest liczbą czynników podziału Tak więc łączna liczba funkcji ze zbioru mocy w zbiór mocy jest równa:
indeks π przebiega przez zbiór wszystkich podziałów Z drugiej strony liczba funkcji z do jest równa Stąd wynika:
Jeśli jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną 1, wtedy -ty moment tego rozkładu prawdopodobieństwa jest dany przez:
Ale wszystkie momenty silni tego rozkładu prawdopodobieństwa są równe 1. Zatem:
i to jest właśnie liczba podziałów zbioru q.e.d.
Przypisy
Linki zewnętrzne
Kategoria:Twierdzenia kombinatoryki