Wspomniane aksjomaty to: istnieją cztery punkty nieincydentne z żadnym okręgiem, dowolna trójka punktów leży na jednym i tylko jednym okręgu, każdy okrąg przechodzi przez co najmniej trzy punkty, dla dowolnego okręgu leżącego na nim punktu i nieleżącego na nim punktu istnieje jednoznacznie wyznaczony okrąg przechodzący przez te punkty, mający dokładnie jeden punkt przecięcia z
Konstrukcje Niech będzie dowolnym punktem abstrakcyjnej płaszczyzny Möbiusa nazywanym dalej „punktem niewłaściwym”. Niech gdzie jest zbiorem wszystkich okręgów przechodzących przez Wówczas jest płaszczyzną afiniczną, w której prosta jest zbiorem punktów właściwych (tzn. nie niewłaściwych) na okręgu przechodzącym przez
W przypadku rzeczywistej lub zespolonej płaszczyzny afinicznej okrąg gdzie jest zbiorem rozwiązań równania kwadratowego Okrąg można określić za pomocą trzech punktów, zaś prosta wyznaczona jest przez dwa. Dodawszy punkt do płaszczyzny afinicznej który leży na każdej prostej, rozszerzone o niego proste można nazywać „okręgami” (obok okręgów afinicznych). Dlatego geometrię takiej płaszczyzny nazywa się płaszczyzną Möbiusa.