Przykłady Przestrzenie zupełne Przestrzenie euklidesowe n-wymiarowe z metryką euklidesową są przestrzeniami zupełnymi. Dowolny zbiór z topologią dyskretną jest przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny przez metrykę dyskretną. Z definicji przestrzenie Banacha są przestrzeniami unormowanymi, które są zupełne. Szerszą klasą zupełnych przestrzeni liniowo-metrycznych są F-przestrzenie.
Przestrzenie niezupełne Dowolny przedział otwarty jedno- lub dwustronnie z metryką euklidesową nie jest zupełny. Np. przedział nie jest zupełny, gdyż np. ciąg jest ciągiem Cauchy’ego w nim zawartym, ale jego granica = 0 nie należy do tego przedziału. Zbiór liczb wymiernych nie jest zupełny, gdyż np. ciąg oraz jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = ciąg jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = (liczba Nepera).
Zupełność jako niezmiennik Tw. 1 Zupełność jest niezmiennikiem metrycznym, tzn. jest zachowywana przy izometriach.
Tw. 2 Zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym.