Konstrukcja iloczynu tensorowego Definicja iloczynu tensorowego jest niekonstruktywna i nie rozstrzyga, czy iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych w ogóle istnieje. Okazuje się, że iloczyn tensorowy dowolnych przestrzeni liniowych i nad ciałem istnieje i może zostać skonstruowany w następujący sposób. Niech będzie przestrzenią liniową nad generowaną przez . Elementami są funkcje postaci o skończonym nośniku (tzn. przyjmujące niezerowe wartości tylko dla skończonej liczby par ). W dla dowolnych wybieramy podprzestrzeń liniową rozpiętą przez funkcje postaci
gdzie dla to funkcja dana wzorem
Przestrzeń ilorazowa wraz z działaniem danym wzorem
jest iloczynem tensorowym przestrzeni liniowych i
Uwagi do konstrukcji (1) Powyższa konstrukcja jest standardową konstrukcją iloczynu tensorowego i bardzo często jest podawana jako definicja.
(2) Funkcje są najczęściej oznaczane i utożsamiane z
(3) jest zbiorem, elementem rodziny zbiorów
(4) nie jest dobrym kandydatem na iloczyn tensorowy gdyż jest przestrzenią liniową nieskończenie wiele wymiarową nawet gdy są przestrzeniami liniowymi skończenie wymiarowymi. Jest więc zdecydowanie zbyt bogata na nasze potrzeby, chcemy bowiem, aby
(5) jest kandydatem na iloczyn tensorowy.