Metody Newtona-Cotesa – zbiór metod numerycznych całkowania, zwanego również kwadraturą. Nazwa pochodzi od Isaaca Newtona i Rogera Cotesa.
Przyjmujemy, że wartości funkcji są znane w równo oddalonych punktach (węzłach) dla Dla węzłów nierówno oddalonych od siebie maja zastosowanie inne wzory np. kwadratura gaussowska.
Jeżeli są równoodległymi węzłami interpolacji funkcji (tj. są elementami dziedziny dla których znana jest wartość ), to całkę:
można aproksymować całką:
gdzie jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a stopnia co najwyżej przybliżającym funkcję w węzłach interpolacji, tj.:
Niech oznacza długość kroku dzielącą dwa węzły interpolacji.
Wprowadzając zmienną taką że można zapisać:
Wtedy:
dla dla
dla
Zmieniając zmienną oraz granice całkowania, otrzymuje się:
Ostatecznie, wzór Newtona-Cotesa dla równo odległych węzłów przyjmuje postać:
Przyjmując za (nazywane współczynnikami kwadratury Newtona-Cotesa), otrzymuje się:
Dowód:
Niech
Wtedy:
Odwrócenie granic całkowania:
Niech
Po wyciągnięciu (–1) przed licznik i mianownik:
Definiuje się dwa typy wzorów Newtona-Cotesa: otwarte, które nie wykorzystują wartości funkcji w skrajnych punktach, oraz zamknięte, wykorzystujące wszystkie wartości funkcji.
Zamknięty wzór Newtona-Cotesa rzędu