Przykłady Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem. Zbiór jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera. Bazą ortonormalną przestrzeni gdzie jest dowolnym zbiorem, jest rodzina gdzie:
Podstawowe wzory Jeżeli jest bazą ortonormalną przestrzeni to dowolny wektor tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:
Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.
Normę wektora można wyrazić za pomocą równości:
Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.
Przestrzeń Hilberta z bazą jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią gdzie jest dowolnym zbiorem równolicznym z
Istnienie bazy ortonormalnej Jeżeli jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta to domknięcie powłoki liniowej zbioru jest podprzestrzenią liniową Zbiór jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.