W 2015 roku wprowadzony do galerii sław meksykańskiego futbolu – Salón de la Fama del Fútbol. Jego synowie Enrique Meza jr. i Diego Meza również są trenerami piłkarskimi.
Kariera klubowa Meza jest wychowankiem klubu Cruz Azul, mającego wówczas siedzibę w niewielkiej miejscowości Jasso, w stanie Hidalgo. Do pierwszej drużyny został włączony w wieku dziewiętnastu lat przez legendarnego szkoleniowca Raúla Cárdenasa i w meksykańskiej Primera División zadebiutował w sezonie 1967/1968. Nie potrafił sobie jednak wywalczyć miejsca w wyjściowym składzie, pozostając jedynie rezerwowym dla Roberto Alatorre. W sezonie 1968/1969 wywalczył z Cruz Azul pierwszy zarówno w swojej karierze, jak i w historii klubu tytuł mistrza Meksyku, a także triumfował w rozgrywkach krajowego pucharu – Copa México oraz wygrał najbardziej prestiżowe rozgrywki kontynentu – Puchar Mistrzów CONCACAF. Podczas sezonu 1969/1970 zanotował natomiast wicemistrzostwo kraju oraz drugi raz triumfował w północnoamerykańskim Pucharze Mistrzów.