(3) Zdefiniowany powyżej proces Wienera nazywa się standardowym. Rozważa się modyfikacje standardowego procesu Wienera poprzez zmianę punktu początkowego na inny niż zerowy oraz zmianę wariancji przyrostów , gdzie - dowolna stała dodatnia. Jeżeli np. proces Wienera opisuje proces dyfuzji, to zwiększenie wariancji będzie odpowiadać większej stałej dyfuzji opisywanego procesu.
Twierdzenia Tw. 1 Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla dowolnych chwil wektor losowy
ma (wielowymiarowy) rozkład normalny.
Nie wszystkie procesy gaussowskie są procesami Wienera. Warunki konieczne do tego określa poniższe twierdzenie.
Tw. 2 Proces gaussowski jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe, b. dla wszelkich c. dla wszelkich .
Tw. 3 Proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c.
Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów, o czym mówi poniższe twierdzenie.
Tw. 4 Proces stochastyczny jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. podane w definicji procesu Wienera oraz 3a. przyrosty procesu są stacjonarne, tj. dla wszelkich zmienne oraz mają te same rozkłady, 3b. 3c. dla wszelkich .