Istnienie Niech dany będzie zbiór liczb postaci gdzie jest dowolną liczbą, tzn.
Zbiór ten zawiera przynajmniej jedną nieujemną liczbę całkowitą; są dwa przypadki: jeśli to można przyjąć jeśli to wystarczy wziąć
W obu przypadkach jest liczbą nieujemną, zatem zawiera przynajmniej jedną liczbę nieujemną. W ten sposób, z zasady dobrego uporządkowania, zbiór musi zawierać najmniejszą nieujemną liczbę przy czym z definicji dla pewnego Wspomniane będzie oznaczane dalej literą W związku z tym, porządkując równanie, uzyskuje się
Pozostaje wykazać, że Pierwsza nierówność wynika z wyboru jako liczby nieujemnej. Aby pokazać drugą (ostrą) nierówność, przypuśćmy, że Ponieważ wówczas oraz to należy rozpatrzyć są dwa przypadki ze względu na znak Jeżeli to pociąga, iż co oznacza, że i w dalszej kolejności co oznacza, że należy do a ponieważ przy czym to co przeczy założeniu, że było najmniejszą liczbą nieujemną należącą do Jeżeli to oznacza, że co daje i dalej więc należy do a ponieważ gdzie to co stanowi sprzeczność z założeniem, że był najmniejszym nieujemnym elementem
W ten sposób dowiedziono, że nie była w istocie najmniejszą nieujemną liczbą ze zbioru sprzeczność ta oznacza, że musi być co kończy dowód istnienia oraz