Rozkład LU Podstawowym problemem numerycznym w tej metodzie jest dokonanie rozkładu LU macierzy współczynników. Żeby ten rozkład macierzy był jednoznaczny, zakłada się, że elementy na głównej przekątnej jednej z macierzy, albo są równe 1.
Rozkład LU jest wyznaczany za pomocą metody Doolittle’a (opisana niżej).
Ta metoda nie jest niezawodna, tzn. podczas obliczeń może wystąpić dzielenie przez zero. Istnieje jej modyfikacja pozbawiona tej wady, nazywana metodą Doolittle-Crouta, w której wykorzystuje się częściowy wybór elementu podstawowego.
Element podstawowy to taki element w macierzy który jest używany do rugowania zmiennych (czyli zerowania odpowiadających im współczynników) z kolejnych równań. Przy stosowaniu metody Doolittle’a wybiera się element podstawowy zawsze z przekątnej głównej, i jeśli jest równe zero, metoda zawodzi.
W metodach zmodyfikowanych wybierany jest ten element z danej -tej kolumny, który ma największy moduł. Następnie wiersz, w którym znajduje się wybrany element, zamieniany jest z -tym wierszem, co powoduje, że element podstawowy pojawia się na przekątnej głównej. To gwarantuje, że podczas obliczeń nie wystąpi dzielenie przez zero.