W 2009 zatrudnieniem Navasa były zainteresowane amerykańskie Chivas USA i hiszpańskie Albacete Balompié, a w maju 2010 Wisła Kraków. Ostatecznie zawodnik trafił do Albacete Balompié. W 2011 roku został wypożyczony do Levante UD. 3 sierpnia 2014 roku został piłkarzem Realu Madryt. Kwota transferu wyniosła 10 milionów €. W barwach Królewskich zadebiutował 16 sierpnia 2014 roku na Stadionie Narodowym w Warszawie podczas Super Meczu. Oficjalny debiut dla Królewskich rozegrał 23 września przeciwko Elche CF, a jego drużyna wygrała 5:1. Do końca sezonu w lidze rozegrał jeszcze 5 spotkań. W sezonie 2015/16 po odejściu Ikera Casillasa do FC Porto został podstawowym bramkarzem i otrzymał po Hiszpanie numer 1. Rozgrywki ligowe rozpoczął w bardzo dobrej formie i zachował 4 czyste konta w pierwszych 4 spotkaniach i po meczu z Szachtarem Donieck został pierwszym bramkarzem w historii klubu, który nie tracił bramki w pięciu kolejnych meczach. Jego serię przerwał dopiero Sabin Merino w 68. minucie meczu pomiędzy Realem Madryt a Athletikiem Bilbao. Przez cały sezon utrzymyał równą formę, a Real Madryt wygrał Ligę Mistrzów 28 maja 2016 na Stadio Giuseppe Meazza w finale z Atlético Madryt po rzutach karnych 5:3.