Swart długo był podstawowym piłkarzem klubu. Zdobył z nim trzy Puchary Mistrzów, w latach 1971–1973, mimo że w meczu finałowym w 1973 już nie zagrał, gdyż w Ajaksie pojawił się nowy skrzydłowy – Johnny Rep. Starzejący się Swart nie był w stanie wygrać rywalizacji z młodszym kolegą, dlatego też w maju 1973 zakończył karierę, a klub w zamian za lata gry zorganizował dla niego benefisowy mecz z Tottenham Hotspur. Po zakończeniu kariery wychowanek Ajaksu stworzył klub oldbojów – "Lucky Ajax", który działa do dziś. Imieniem Swarta nazwano również jeden z mostów w Park de Meer w Amsterdamie.
Statystyki kariery Sezon Drużyna Liga Eredivisie Puchar Holandii Europejskie Puchary RazemWystępyGoleWystępyGoleWystępyGoleWystępyGole1956-57AFC AjaxEredivisie5010--601957-58Ajax AmsterdamEredivisie194--202141958-59Ajax AmsterdamEredivisie7354--1271959-60Ajax AmsterdamEredivisie3418----34181960-61Ajax AmsterdamEredivisie339732142131961-62Ajax AmsterdamEredivisie33521203761962-63Ajax AmsterdamEredivisie28520--3051963-64Ajax AmsterdamEredivisie301250--35121964-65Ajax AmsterdamEredivisie291110--30111965-66Ajax AmsterdamEredivisie301053--35131966-67Ajax AmsterdamEredivisie3425536345311967-68Ajax AmsterdamEredivisie3311722042131968-69Ajax AmsterdamEredivisie32133210345181969-70Ajax AmsterdamEredivisie31136110647201970-71Ajax