W 1925 Alexander Dubček wyjechał z rodzicami do miasta Frunze (obecnie Biszkek) w radzieckim Kirgistanie.
Później Dubčekowie przenieśli się do miasta Gorki, a w 1938 wrócili na Słowację, ponieważ zgodnie z nowymi wytycznymi musieliby przyjąć obywatelstwo radzieckie, a w 1939 młody Dubček wraz z ojcem wstąpił do ówcześnie nielegalnej Komunistycznej Partii Słowacji. Dubček zdobył zawód mechanika, pracował w zakładach zbrojeniowych w Dubnicy.
Dubček kontynuował działalność w partii mimo aresztowania ojca, a w 1944 brał udział w Słowackim Powstaniu Narodowym, w którym został ranny, a jego brat Julius został zabity. Po wojnie pracował na różnych stanowiskach politycznych w Trenczynie i Bańskiej Bystrzycy. W tym ostatnim mieście w 1953 r. został I sekretarzem partii, a dwa lata później wszedł w skład KC Komunistycznej Partii Słowacji. Od dzieciństwa bardzo dobrze posługiwał się językiem rosyjskim. Został oddelegowany do Moskwy, gdzie w latach 1955–1958 studiował nauki polityczne w Wyższej Szkole Partyjnej przy KC KPZR, m.in. wraz z Michaiłem Gorbaczowem.