Jest rekordzistą pod względem liczby zdobytych bramek w jednym sezonie ligi meksykańskiej – jego osiągnięcie powtórzył tylko rok później Isidro Lángara.
W 1946 Aballay powrócił do ojczyzny, zostając graczem stołecznego San Lorenzo de Almagro. W tym samym sezonie wywalczył z tą ekipą drugie już w swojej karierze mistrzostwo Argentyny, zdobywając dwa gole w jednym meczu. W latach 1946–1947 wraz z resztą zespołu wziął udział w tournée po Hiszpanii i Portugalii, podczas którego zdobył gola w wygranym 9:4 sparingu z FC Porto. W sumie w San Lorenzo spędził trzy lata, strzelając siedem bramek w dziewięciu meczach ligi argentyńskiej. W 1949 Aballay wyemigrował do Europy, podpisując kontrakt z włoskim klubem Genoa CFC. Premierowego gola w Serie A strzelił 20 października 1949 w zremisowanym 2:2 meczu z Lucchese; później wpisywał się także na listę strzelców 12 marca 1950 w konfrontacji z Bologną (2:2) i siedem dni później z Atalantą (1:0), kończąc sezon z bilansem trzech trafień w 29 meczach i zajmując z Genoą jedenaste miejsce w tabeli.