Dzięki temu zamiast o relacjach logicznych można mówić o relacjach arytmetycznych.
Istnienie zdania 17 gen r jest powodem nierozstrzygalności arytmetyki, uważanej do czasów Gödla za system rozstrzygalny, to znaczy taki, w którym prawdziwość każdego twierdzenia można rozstrzygnąć w oparciu o skończony zbiór kryteriów. Inaczej mówiąc, zbiór twierdzeń arytmetycznych jest nieobliczalny, co znaczy, że nie można w skończonej ilości kroków rozstrzygnąć, czy dany element tego zbioru, będący twierdzeniem arytmetycznym, jest, czy nie jest elementem zbioru twierdzeń. Tymczasem zbiór dowodów systemu formalnego jest obliczalny, ponieważ w skończonej ilości kroków można rozstrzygnąć, czy dany ciąg napisów jest, czy nie jest dowodem danego twierdzenia.
Tak więc zbiór zdań prawdziwych nie pokrywa się ze zbiorem twierdzeń dowodzonych przez system. Wiemy bowiem, że istnieją zdania prawdziwe, których nie da się dowieść w tym systemie.