Wzór Möbiusa (twierdzenie Möbiusa o odwracaniu, odwracanie Möbiusa) – w matematyce to twierdzenie wiążące funkcje arytmetyczne z funkcją Möbiusa. Wzór pojawił się po raz pierwszy w pracach Dedekinda i Liouville’a w 1857r., 15 lat po wprowadzeniu przez Möbiusa funkcji .
Postać wzoru Twierdzenie. Niech dane będą funkcje arytmetyczne i Następujące relacje są sobie równoważne:
wtedy i tylko wtedy, gdy
gdzie jest funkcją Möbiusa. Stosując oznaczenie splotu Dirichleta oznacza to, że wtedy i tylko wtedy, gdy .
Dowód. Przez oznaczamy funkcję arytmetyczną, która dla wszystkich argumentów przyjmuje własność 1. Pierwsze równanie opisuje zależność Wiedząc, że funkcja jest odwrotna do funkcji względem splotu Dirichleta możemy zapisać lewa strona równości odpowiada drugiemu równaniu powyżej, to kończy dowód.
Postać multiplikatywna Rozważając odwracanie Möbiusa dla odpowiednio zdefiniowanych funkcji arytmetycznych i przyjmując i twierdzenie możemy zapisać następująco.
Dla danych funkcji arytmetycznych i zachodzi równość
wtedy i tylko wtedy, gdy
Uogólnione odwracanie Möbiusa Twierdzenie Möbiusa można uogólnić na funkcje niebędące funkcjami arytmetycznymi, ale o określonych własnościach. Uogólnioną postać wykorzystuje się szczególnie w analitycznej teorii liczb.